Оглавление
Категориальная теория
-
Определение категоричности в математической логике
- Теория является категоричной, если имеет только одну модель с точностью до изоморфизма.
- В логике первого порядка только теории с конечными моделями могут быть категоричными.
- Логика высшего порядка допускает категоричные теории с бесконечными моделями.
-
Уточнение понятия категоричности
- Теория является κ-категоричной, если имеет ровно одну модель мощности κ.
- Теорема Морли утверждает, что если теория первого порядка категорична в неисчислимой мощности, то она категорична во всех неисчислимых мощностях.
-
История и мотивация
- Освальд Веблен определил теорию как категоричную, если все ее модели изоморфны.
- Ежи Лос заметил, что для полных теорий над счетными языками существует только три способа сделать их κ-категоричными.
- Наблюдение Лоса послужило толчком к исследованиям в 1960-х, кульминацией которых стала теорема Морли.
-
Примеры категоричных теорий
- Примеры включают чистую теорию тождества, теорию алгебраически замкнутых полей с характеристикой, векторные пространства над счетным полем и теорию множества натуральных чисел с функцией-преемником.
-
Свойства категоричных теорий
- Любая категоричная теория является завершенной.
- Теория, категоричная в бесконечном кардинале, очень близка к завершению.
- Тест Лосса-Воута утверждает, что теория, не имеющая конечных моделей и категоричная в бесконечном кардинале, является полной.
-
Ссылки и рекомендации
- Статья основана на записи из Стэнфордской энциклопедии философии.