Категория представлений

• Основы теории представлений

  • Категория представлений A включает объекты и морфизмы, отображающие объекты в эквивариантные образы. 
  • Важным вопросом является полупростота категории, определяемая способностью объекта разлагаться на простые объекты. 

• Формализм Таннака

  • Группа G может быть переведена в категорию векторных пространств с помощью функтора Таннака. 
  • Кольцо Гротендика из конечномерных представлений группы G называется кольцом представлений. 

• Определения и примеры

  • Для конечной группы G и поля F категория представлений имеет объекты (V, f), морфизмы, композицию и тождества. 
  • Для группы Ли представления должны быть гладкими или допустимыми, а для алгебры Ли см. соответствующий раздел. 
  • Существует изоморфизм между категорией представлений и категорией модулей над групповым кольцом. 

• Теоретико-категориальное определение

  • Представление G в C является функтором от G до C, который индуцирует групповой гомоморфизм. 
  • Линейное представление эквивалентно функтору из VectF в C. 

• Свойства и двойственность Таннаки-Крейна

  • Категория линейных представлений имеет моноидальную структуру и играет ключевую роль в двойственности Таннаки-Крейна. 
  • Теорема Машке утверждает полупростоту категории представлений при условии, что характеристика поля не делит порядок группы. 
  • Существуют функторы ограничения и индукции, которые позволяют изучать взаимодействие между подгруппами и категориями представлений. 
  • Теорема Таннаки описывает обратный переход от категории представлений к группе, а теорема Крейна описывает все категории, возникающие из группы.