Оглавление
Категория представлений
-
Основы теории представлений
- Категория представлений A включает объекты и морфизмы, отображающие объекты в эквивариантные образы.
- Важным вопросом является полупростота категории, определяемая способностью объекта разлагаться на простые объекты.
-
Формализм Таннака
- Группа G может быть переведена в категорию векторных пространств с помощью функтора Таннака.
- Кольцо Гротендика из конечномерных представлений группы G называется кольцом представлений.
-
Определения и примеры
- Для конечной группы G и поля F категория представлений имеет объекты (V, f), морфизмы, композицию и тождества.
- Для группы Ли представления должны быть гладкими или допустимыми, а для алгебры Ли см. соответствующий раздел.
- Существует изоморфизм между категорией представлений и категорией модулей над групповым кольцом.
-
Теоретико-категориальное определение
- Представление G в C является функтором от G до C, который индуцирует групповой гомоморфизм.
- Линейное представление эквивалентно функтору из VectF в C.
-
Свойства и двойственность Таннаки-Крейна
- Категория линейных представлений имеет моноидальную структуру и играет ключевую роль в двойственности Таннаки-Крейна.
- Теорема Машке утверждает полупростоту категории представлений при условии, что характеристика поля не делит порядок группы.
- Существуют функторы ограничения и индукции, которые позволяют изучать взаимодействие между подгруппами и категориями представлений.
- Теорема Таннаки описывает обратный переход от категории представлений к группе, а теорема Крейна описывает все категории, возникающие из группы.
Полный текст статьи: