Клейновская группа
-
Определение и история
- Клейновская группа — дискретная подгруппа группы сохраняющих ориентацию изометрий гиперболического 3-пространства H3.
- Основана Феликсом Клейном и Анри Пуанкаре в 1883 году.
- Особый случай групп Шоттки изучен Шоттки в 1877 году.
-
Современные определения
- Клейновская группа действует на 3-шаровую B3 как дискретная группа гиперболических изометрий.
- Гиперболическое 3-пространство имеет естественную границу, называемую сферой на бесконечности.
- Клейновская группа также может быть определена как подгруппа PGL(2, C).
-
Дискретность и предельное множество
- Клейновская группа дискретна, что подразумевает конечные стабилизаторы и дискретные орбиты.
- Орбита точки p обычно накапливается на границе замкнутого шара B¯3.
- Множество точек накопления называется предельным множеством Γ и обозначается Λ(Γ).
-
Типы и вариации
- Клейновская группа имеет конечный тип, если ее область разрыва имеет конечное число орбит компонентов.
- Клейновская группа называется конечно порожденной, если она имеет конечное число образующих.
- Существуют вариации определения клейновской группы, включая подгруппы PSL(2, C).2 и конечное число образующих.
-
Примеры и приложения
- Группы Бьянки — клейновские группы вида PSL(2, Od).
- Элементарные и приводимые клейновы группы: элементарные группы имеют конечное предельное множество, приводимые группы имеют общую неподвижную точку.
- Фуксовы группы: любая фуксова группа является клейновой группой.
- Группы Koebe: все множители элементарны или фуксовы.
- Квазифуксовы группы: сохраняют жорданову кривую, сопряжены с фуксовыми группами при квазиконформных преобразованиях.
- Группы Шоттки: группа, сгенерированная инверсией в каждом круге, имеет предельный набор в виде множества Кантора.
- Кристаллографические группы: группа симметрий тесселяции гиперболического 3-пространства является клейновой группой.
- Фундаментальные группы гиперболических 3-многообразий: фундаментальная группа любого ориентированного гиперболического 3-многообразия является клейновской группой.
- Вырожденные клейновские группы: не являются элементарными и имеют односвязное предельное множество.
-
Определение вырожденных клейновских групп
- Вырожденные клейновские группы строятся путем определения предела квазифуксовых групп.
- Одна из двух составляющих регулярных точек сжимается до пустого множества.
- Если оба компонента сокращаются до пустого набора, группа называется дважды вырожденной.
-
История и примеры
- Существование вырожденных групп было показано Берсом (1970).
- Первый явный пример найден Йоргенсеном.
- Кэннон и Терстон (2007) привели примеры дважды вырожденных групп и заполняющих пространство кривых.
-
Связанные гипотезы и теоремы
- Гипотеза о мере Альфорса.
- Теорема о плотности для клейновских групп.
- Теорема об окончании ламинирования.
- Теорема о приручаемости (гипотеза Мардена).