Когомологии Де Рама

• Определение и свойства когомологий де Рама

  • Когомологии де Рама — это группы гомологий, связанные с дифференциальными формами на многообразии. 
  • Они являются обобщением когомологий Чеха и связаны с комплексным анализом. 
  • Они играют ключевую роль в теории Ходжа и других областях математики. 

• Связь с комплексным анализом

  • Когомологии де Рама связаны с комплексным анализом через интеграл Пуассона. 
  • Они также связаны с комплексными координатами и комплексными дифференциалами. 

• Применение в теории Ходжа

  • Теория Ходжа использует когомологии де Рама для доказательства изоморфизма между группами гармонических форм и когомологиями де Рама. 
  • Этот изоморфизм важен для понимания гармонических форм и их связи с дифференциальными формами. 

• Разложение Ходжа и гармонические формы

  • Разложение Ходжа позволяет разложить любую форму на точные, со-точные и гармонические компоненты. 
  • Гармонические формы являются экстремальными в смысле минимизации всех когомологически эквивалентных форм. 

• Примеры и число Бетти

  • На примере 2-мерного тора можно увидеть, как различные варианты расчесывания форм влияют на число Бетти. 
  • Для компактных ориентированных римановых многообразий размерность ядра лапласиана равна размерности группы когомологий де Рама. 

• Разложение Ходжа и ортогональность

  • Точные и со-точные формы ортогональны, а гармонические формы являются их ортогональным дополнением. 
  • Разложение Ходжа может быть расширено на полные римановы многообразия.