Оглавление
Кольцо Джейкобсона
-
Кольца Гильберта и Якобсона
- Кольца Гильберта и Якобсона имеют простые идеалы, являющиеся пересечениями примитивных идеалов.
- Для коммутативных колец примитивные идеалы совпадают с максимальными, что делает их кольцами Якобсона.
-
История и названия
- Кольца Якобсона были независимо представлены Вольфгангом Круллем и Оскаром Голдманом.
- Крулль назвал их в честь Натана Якобсона, а Голдман — в честь Дэвида Гильберта.
-
Нулевой теллензатц Гильберта
- Нулевой теллензатц Гильберта утверждает, что кольцо многочленов с конечным числом переменных над полем является кольцом Гильберта.
- Общая форма Nullstellensatz гласит, что если R — кольцо Якобсона, то любая конечно порожденная R-алгебра S также является кольцом Якобсона.
-
Примеры колец Якобсона
- Любое поле является кольцом Якобсона.
- Любая главная идеальная область или область Дедекинда с нулевым радикалом Якобсона также является кольцом Якобсона.
- Локальное кольцо с нулевой размерностью Крулля является кольцом Якобсона, но с размерностью Крулля 1 или больше — нет.
-
Характеристики колец Якобсона
- Каждый простой идеал является пересечением максимальных идеалов.
- Каждый радикальный идеал является пересечением максимальных идеалов.
- Каждый идеал Голдмана максимален.
- Каждое частное кольцо по простому идеалу имеет нулевой радикал Якобсона.
- Каждая конечно порожденная алгебра над R, представляющая собой поле, конечно порождается как R-модуль.
-
Спектр и нетеровые кольца
- Спектр R является пространством Якобсона.
- Для нетеровых колец R не имеет простых идеалов P, таких что R / P является одномерным полулокальным кольцом.