Оглавление
Кольцо Каша
-
Определение колец Каша
- Кольцо R называется правым кольцом Каша, если каждый простой правый R-модуль изоморфен правому идеалу R.
- Аналогично определяется левое кольцо Каша.
- Кольца Каша названы в честь математика Фридриха Каша.
-
Эквивалентные определения
- Для каждого простого правого R-модуля M существует ненулевой гомоморфизм модулей из M в R.
- Максимальные правые идеалы R являются правыми аннигиляторами кольцевых элементов.
- Для любого максимального правильного идеала T из R, ℓ.ann(T) ≠ {0}.
- Для любого правильного идеального T из R, ℓ.ann(T) ≠ {0}.
- Для любого максимального правильного идеала T из R, r.ann(ℓ.ann(T)) = T.
- У R нет плотных правильных идеалов, кроме самого R.
-
Примеры колец Каша
- Полупервичные кольца с радикалом Джейкобсона J, коммутативные или простые, являются правыми и левыми кольцами Каша.
- Кольцо деления k и подкольцо матричного кольца размером 4 на 4 с элементами из k являются правыми кольцами Каша.
- Кольцо степенных рядов по двум некоммутирующим переменным X и Y с коэффициентами из поля F и идеал A, порожденный YX и Y2, являются правым кольцом Каша, но не левым.
- Прямое произведение бесконечно большого числа ненулевых колец не является правым или левым кольцом Каша.
- Верхнее или нижнее треугольное матричное кольцо размером 2 на 2 не является правым или левым кольцом Каша.
- Кольцо с нулевым правым цоколем не может быть правильным кольцом Каша.
-
Рекомендации
- Кольца Каша обобщают S-кольца, которые первоначально называл Каш.
- Кольца Каша имеют несколько эквивалентных определений, использующих концепцию аннигиляторов.