Оглавление
- 1 Кольцо Коэна–Маколея
- 1.1 Определение колец Коэна–Маколея
- 1.2 Примеры колец Коэна–Маколея
- 1.3 Схемы Коэна–Маколея
- 1.4 Теория пересечений
- 1.5 Чудесная плоскостность
- 1.6 Свойства колец Коэна–Маколея
- 1.7 Локус BOS и кольца Коэна–Маколея
- 1.8 Теорема Гильберта–Берча
- 1.9 Теорема о несмешиваемости
- 1.10 Контрпримеры
- 1.11 Произведение Сегре
- 1.12 Двойственность Гротендика
- 1.13 Записи и рекомендации
- 1.14 Полный текст статьи:
- 2 Кольцо Коэна–Маколея
Кольцо Коэна–Маколея
-
Определение колец Коэна–Маколея
- Кольца Коэна–Маколея обладают свойствами гладких многообразий, такими как локальная равноразмерность.
- Локальное кольцо является кольцом Коэна–Маколея, если оно конечно порожденный свободный модуль над обычным локальным подкольцом.
-
Примеры колец Коэна–Маколея
- Обычные локальные кольца, такие как целые числа и кольца многочленов.
- Регулярные схемы, такие как гладкие многообразия.
- 0-мерные кольца, 1-мерные уменьшенные кольца, 2-мерные нормальные кольца, кольца Горенштейна.
- Кольца инвариантов и определяющие кольца.
-
Схемы Коэна–Маколея
- Локально нетерова схема является Коэна–Маколеем, если в каждой точке местное кольцо является Коэна–Маколеем.
- Кривые Коэна–Маколея полезны для компактификации пространств модулей кривых.
-
Теория пересечений
- Схемы Коэна–Маколея связаны с теорией пересечений.
- Кратность пересечения двух подсхем вдоль точки Коэна–Маколея задается длиной локального кольца в этой точке.
-
Чудесная плоскостность
- Кольцо Коэна–Маколея является плоским как модуль над регулярным локальным кольцом.
- Это свойство не зависит от выбора морфизма.
-
Свойства колец Коэна–Маколея
- Нетерово локальное кольцо является кольцом Коэна–Маколея тогда и только тогда, когда его завершение является кольцом Коэна–Маколея.
- Кольцо многочленов и кольцо степенных рядов над кольцом Коэна–Маколея также являются кольцами Коэна–Маколея.
- Частное от кольца Коэна–Маколея по любому идеалу является универсально цепным.
-
Локус BOS и кольца Коэна–Маколея
- Локус BOS является открытым подмножеством Spec R, если Rp равен Коэну–Маколею.
- Локальное кольцо подсхемы коразмерности c в обычной схеме является кольцом Коэна–Маколея при c = 1.
-
Теорема Гильберта–Берча
- Кольца Коэна–Маколея коразмерности 2 являются детерминантными кольцами.
- Для каждого параметра идеал Q, длина (R/Q) = e(Q), где e(Q) — кратность Гильберта–Сэмюэля для Q.
-
Теорема о несмешиваемости
- Идеал I нетерова кольца A называется несмешанным по высоте, если высота I равна высоте каждого связанного простого числа P из A / I.
- Нетерово кольцо является кольцом Коэна–Маколея тогда и только тогда, когда для него справедлива теорема о несмешиваемости.
-
Контрпримеры
- Кольцо K[x,y]/(x2,xy) не является кольцом Коэна–Маколея.
- Кольцо K[x,y,z]/(xy,xz) является уменьшенным, но не равноразмерным и не Коэна–Маколея.
- Кольцо K[w,x,y,z]/(wy,wz, xy,xz) является уменьшенным и равноразмерным, но не Коэна–Маколея.
-
Произведение Сегре
- Произведение Сегре двух колец Коэна–Маколея необязательно должно быть Коэна–Маколея.
-
Двойственность Гротендика
- Схема X является схемой Коэна–Маколея, если дуализирующий комплекс представлен одним пучком.
- Более сильное свойство быть горенштейновой означает, что этот пучок является линейным расслоением.
- Каждая обычная схема является Горенштейновой.
-
Записи и рекомендации
- Статья Коэна была написана, когда “локальное кольцо” означало “нетерово локальное кольцо”.
- Примеры интегральных областей Коэна-Маколея и колец Коэна-Маколея.