Конечное множество
-
Определение и свойства конечных множеств
- Конечное множество — это множество, элементы которого можно перечислить.
- Мощность конечного множества равна числу его элементов.
- Множество с конечным числом элементов является дедекиндовым.
-
Основные свойства конечных множеств
- Собственные подмножества конечного множества также конечны и имеют меньше элементов.
- Объединение конечного числа множеств также является конечным.
- Декартово произведение конечных множеств также конечно.
- Каждое конечное множество имеет конечное число подмножеств.
-
Необходимые и достаточные условия конечности
- В ZF без аксиомы выбора множество является конечным, если его можно представить как набор натуральных чисел.
- Множество является конечным, если обладает всеми свойствами, доказуемыми с помощью математической индукции.
- Множество является конечным, если оно имеет общий порядок, который хорошо упорядочен в прямом и обратном направлениях.
- Множество является дедекиндовым, если каждая функция «один к одному» от его подмножеств также является «на себя».
- Множество является конечным, если каждая сюръективная функция от его подмножеств на само себя является «один к одному».
-
Другие концепции конечности
- Множество является я-конечным, если каждое непустое множество его подмножеств имеет максимальный элемент.
- Множество является II-конечным, если каждый непустой монотонный набор его подмножеств имеет максимальный элемент.
- Множество является III-конечным, если его мощность конечна по Дедекинду.
- Множество является IV-конечным, если оно конечно по Дедекинду.
- Множество является V-конечным, если его мощность равна нулю или 2n для некоторого натурального числа n.
- Множество является VI-конечным, если его мощность равна нулю, единице или 2n для некоторого натурального числа n.
- Множество является VII-конечным, если оно является I-конечным или плохо упорядоченным.
-
Прямые и обратные следствия
- Каждое из свойств от I-конечного до IV-конечного является понятием малости.
- V-конечные и VII-конечные множества могут иметь счетное бесконечное множество подмножеств.