Оглавление
- 1 Лапласиан индикатора
- 1.1 Лапласиан показателя области D
- 1.2 История и обобщения
- 1.3 Поверхностная дельта-функция
- 1.4 Простая дельта-функция поверхности Дирака
- 1.5 Дельта-функция поверхности Дирака
- 1.6 Аппроксимации с помощью рельефных функций
- 1.7 Теория распределения для прерывистых функций
- 1.8 Приложения в квантовой механике
- 1.9 Обобщения дельта-функции Дирака
- 1.10 Динамика жидкости
- 1.11 Реконструкция поверхности
- 1.12 Дополнительные термины
- 1.13 Полный текст статьи:
- 2 Лапласиан индикатора
Лапласиан индикатора
-
Лапласиан показателя области D
- Лапласиан показателя области D является обобщением производной дельта-функции Дирака на более высокие измерения.
- Он отличен от нуля только на поверхности D и может рассматриваться как поверхностная дельта-простая функция.
- Лапласиан индикатора имеет бесконечно положительные и отрицательные значения вблизи границы области D.
-
История и обобщения
- Поль Дирак ввел δ-функцию Дирака в 1930 году.
- Многомерное обобщение δ-функции Дирака отличается от нуля только в одной точке.
- В декартовых координатах d-мерная δ-функция Дирака является произведением d одномерных δ-функций.
- Индикаторная функция может быть записана как 1x∈D, где D – область.
-
Поверхностная дельта-функция
- Поверхностная дельта-функция обобщает δ-функцию Дирака на границу области D.
- Она равна нулю, за исключением области D, и интегрируется с общей площадью поверхности.
- Поверхностные дельта-функции полезны в квантовой механике и электростатике.
-
Простая дельта-функция поверхности Дирака
- Лапласиан индикатора является поверхностной дельта-простой функцией.
- Это можно доказать с помощью интегрирования по частям и теоремы о дивергенции.
- Поверхностная дельта-простая функция существует на кусочно-гладкой поверхности.
-
Дельта-функция поверхности Дирака
- Производная по нормали от индикатора является поверхностной дельта-функцией.
- Это можно доказать с помощью теоремы о дивергенции и правила продукта.
- Поверхностная дельта-функция интегрируется с площадью поверхности D.
-
Аппроксимации с помощью рельефных функций
- Производные от показателя могут быть аппроксимированы функцией выпуклости.
- Функция bump должна быть неотрицательной и приближаться к индикатору снизу.
- Это гарантирует, что семейство функций bump одинаково равно нулю за пределами D.
-
Теория распределения для прерывистых функций
- Используется для понимания поверхностных распределений
- Включает усреднение значения функции по обе стороны границы
- Для поверхностной дельта-функции усреднение значения f по обе стороны границы D
- Для поверхностной дельта-простой функции усреднение производной по нормали от f по обе стороны границы области D
-
Приложения в квантовой механике
- Точечные взаимодействия хорошо известны
- Пример: уравнение Шредингера с дельта-потенциалом Дирака
- Одномерный дельта-простой потенциал Дирака вызвал споры
- В последнее время больше внимания уделяется одномерному дельта-простому потенциалу Дирака
-
Обобщения дельта-функции Дирака
- Обобщение на многомерную точку
- Обобщение на многомерную поверхность
- Первые обобщения известны как точечные взаимодействия
- Вторые обобщения известны как “взаимодействия дельта-сферы” и “поверхностные дельта-взаимодействия”
-
Динамика жидкости
- Лапласиан индикатора использовался для моделирования интерфейсов между различными носителями
-
Реконструкция поверхности
- Дивергенция индикатора и его лапласиан использовались для реконструкции поверхностей
-
Дополнительные термины
- Дельта-потенциал: модель энергетического потенциала в квантовой механике
- Дельта-функция Дирака: обобщенная функция, значение которой равно нулю везде, кроме нулевого значения
- Распределение (математика): термин математического анализа, аналогичный обобщенной функции
- Потенциал двойного слоя: решение уравнения Лапласа на страницах викиданных
- Электростатика: изучение неподвижных или медленно движущихся электрических зарядов
- Обобщенные функциональные объекты: расширяют понятие функций
- Индикаторная функция: математическая функция, характеризующая принадлежность набора
- Теория потенциала: гармонические функции как решения уравнения Лапласа