Лемма Хопфа

Лемма Хопфа Лемма Хопфа Лемма Хопфа утверждает, что если функция гармонична внутри области с гладкой границей и её значение на […]

Лемма Хопфа

  • Лемма Хопфа

    • Лемма Хопфа утверждает, что если функция гармонична внутри области с гладкой границей и её значение на границе больше, чем внутри, то производная функции в направлении нормали к границе строго положительна.  
    • Лемма важна для доказательства принципа максимума и теории дифференциальных уравнений в частных производных.  
  • История и обобщения

    • Лемма была открыта Станиславом Зарембой в 1910 году для лапласиана.  
    • В 1952 году Хопф и Олейник независимо нашли обобщение для эллиптических уравнений.  
    • Существуют расширения, позволяющие создавать домены с углами.  
  • Доказательство для гармонических функций

    • Вычитая константу, можно предположить, что функция строго отрицательна внутри области.  
    • В области содержится маленький шарик, пересекающий границу только в точке максимума.  
    • Производная функции ограничена снизу строго положительной константой.  
  • Применение к эллиптическим операторам

    • Лемма усиливает принцип слабого максимума, доказывая, что производная функции в точке максимума строго положительна.  
    • Лемма справедлива при условии, что область C2 около точки максимума и c ≤ 0.  
  • Обобщения и расширения

    • Лемма может быть обобщена для областей с внутренним шаром и для функций c, принимающих положительные значения.  
    • Существуют контрпримеры к лемме, что подчеркивает её ограниченность.  

Полный текст статьи:

Лемма Хопфа

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх