Лемма Хопфа
-
Лемма Хопфа
- Лемма Хопфа утверждает, что если функция гармонична внутри области с гладкой границей и её значение на границе больше, чем внутри, то производная функции в направлении нормали к границе строго положительна.
- Лемма важна для доказательства принципа максимума и теории дифференциальных уравнений в частных производных.
-
История и обобщения
- Лемма была открыта Станиславом Зарембой в 1910 году для лапласиана.
- В 1952 году Хопф и Олейник независимо нашли обобщение для эллиптических уравнений.
- Существуют расширения, позволяющие создавать домены с углами.
-
Доказательство для гармонических функций
- Вычитая константу, можно предположить, что функция строго отрицательна внутри области.
- В области содержится маленький шарик, пересекающий границу только в точке максимума.
- Производная функции ограничена снизу строго положительной константой.
-
Применение к эллиптическим операторам
- Лемма усиливает принцип слабого максимума, доказывая, что производная функции в точке максимума строго положительна.
- Лемма справедлива при условии, что область C2 около точки максимума и c ≤ 0.
-
Обобщения и расширения
- Лемма может быть обобщена для областей с внутренним шаром и для функций c, принимающих положительные значения.
- Существуют контрпримеры к лемме, что подчеркивает её ограниченность.