Лемма Маргулиса
-
Лемма Маргулиса в дифференциальной геометрии
- Лемма Маргулиса утверждает, что структура орбит дискретных подгрупп изометрий в римановых многообразиях с неположительной кривизной ограничена.
- В пределах радиуса, называемого постоянной Маргулиса, орбиты находятся на орбитах нильпотентных подгрупп.
-
Формулировка и эквивалентные утверждения
- Лемма может быть сформулирована для односвязных многообразий с ограниченной неположительной кривизной.
- Существуют постоянные C и ε, такие что любая дискретная подгруппа содержит нильпотентную подгруппу с индексом меньше C.
- Если подмножество F удовлетворяет условию, что для всех g ∈ F расстояние между x и gx меньше ε, то группа ⟨F⟩ является дискретной и содержит нильпотентную подгруппу.
-
Константы Маргулиса и их применение
- Оптимальная постоянная ε зависит от размера и нижней границы кривизны и обычно нормализуется так, чтобы кривизна была между -1 и 0.
- Для гиперболических пространств были определены константы Маргулиса, и они удовлетворяют определенным границам.
-
Районы Зассенхауса и их связь с теоремой Жордана
- Районы Зассенхауса в симметричных пространствах связаны с полупростыми группами Ли и могут быть использованы для доказательства теоремы Жордана о конечных линейных группах.
-
Разложение на тонкую и толстую части
- В римановых многообразиях с отрицательной кривизной и ε меньше постоянной Маргулиса для универсального покрытия тонкая часть состоит из острий и трубок Маргулиса.
- Полное гиперболическое многообразие конечного объема диффеоморфно внутренней части компактного многообразия.
-
Другие области применения леммы Маргулиса
- Лемма о воротнике уточняет описание компактных компонентов тонких деталей.
- Из существования трубок Маргулиса следует положительная граница объемов гиперболических многообразий для любого n.
- Существование окрестностей Зассенхауса является ключевым элементом доказательства теоремы Каждана-Маргулиса.
-
Дополнительные ссылки
- Неравенство Йоргенсена касается дискретных подгрупп в трехмерном гиперболическом пространстве.