Оглавление
Логарифм матрицы
-
Определение и свойства логарифма матрицы
- Логарифм матрицы – это матрица, обратная к экспоненциальной матрице.
- Логарифм существует, если матрица обратима, и его элементы являются корнями характеристического уравнения.
- Логарифм является линейным оператором, который сохраняет определитель матрицы.
-
Примеры и вычисления
- Логарифм единичной матрицы равен нулю.
- Логарифм диагональной матрицы равен диагональным элементам.
- Логарифм обратной матрицы равен обратной экспоненциальной матрице.
- Логарифм произведения матриц равен сумме логарифмов сомножителей.
- Логарифм суммы матриц равен сумме логарифмов слагаемых.
-
Неединственность и ограничения
- Логарифм может быть неединственным, если матрица имеет комплексные собственные значения.
- Для 2 × 2 матриц с отрицательным определителем логарифм не существует.
-
Перспективы функционального анализа и теории групп Ли
- В функциональном анализе логарифм матрицы определяется как голоморфная функция на спектре матрицы.
- В теории групп Ли логарифм является обратным к экспоненциальному отображению.
-
Ограничения в случае 2 × 2 матриц
- Если определитель матрицы 2 × 2 отрицательный, то логарифм не существует.
- Матрица, сопряженная с матрицей с логарифмом, также имеет логарифм.
Полный текст статьи: