Оглавление
- 1 Локально компактное пространство
- 1.1 Определение локально компактных пространств
- 1.2 Эквивалентные определения
- 1.3 Примеры и контрпримеры
- 1.4 Общие классы примеров
- 1.5 Свойства локально компактных пространств
- 1.6 Локальная равномерная сходимость и компактная сходимость
- 1.7 Компактификации локально компактных пространств
- 1.8 Точка в бесконечности
- 1.9 Функции, обращающиеся в нуль на бесконечности
- 1.10 Представление Гельфанда
- 1.11 Локально компактные группы
- 1.12 Полный текст статьи:
- 2 Локально компактное пространство – Arc.Ask3.Ru
Локально компактное пространство
-
Определение локально компактных пространств
- Локально компактное пространство — это пространство, в котором каждая точка имеет компактную окрестность.
- Локально компактные хаусдорфовы пространства представляют особый интерес для математического анализа.
-
Эквивалентные определения
- Каждое условие подразумевает (1).
- Условия (2), (2′), (2″) эквивалентны.
- Ни одно из условий (2), (3) не подразумевает другого.
- Из условия (4) вытекают (2) и (3).
- Компактность подразумевает условия (1) и (2), но не (3) или (4).
-
Примеры и контрпримеры
- Компактные хаусдорфовы пространства: единичный интервал, набор Кантора, куб Гильберта.
- Локально компактные хаусдорфовы пространства, не являющиеся компактными: евклидовы пространства, топологические многообразия, дискретные пространства.
- Хаусдорфовы пространства, не являющиеся локально компактными: пространство Q рациональных чисел, подпространство {(0,0)} ∪ ((0,∞) × R) от R2, топология нижнего предела или верхнего предела на R, бесконечномерное топологическое векторное пространство.
- Не хаусдорфовы примеры: одноточечная компактификация Q, конкретная точечная топология, топология правильного порядка на вещественной прямой, пространство Серпиньского, непересекающееся объединение счетного числа копий пространства Серпиньского, топология исключенной точки, кофинитная топология, дискретная топология на множестве из двух элементов.
-
Общие классы примеров
- Каждое пространство с топологией Александрова локально компактно в смыслах (1) и (3).
-
Свойства локально компактных пространств
- Каждое локально компактное предрегулярное пространство является полностью регулярным.
- Каждое локально компактное хаусдорфово пространство является тихоновым пространством.
- Каждое локально компактное регулярное пространство является пространством Бэра.
- Подпространство X локально компактного хаусдорфова пространства Y локально компактно тогда и только тогда, когда X локально замкнуто в Y.
- Каждое замкнутое множество и каждое открытое множество в локально компактном хаусдорфовом пространстве локально компактно.
- Плотное подпространство X локально компактного хаусдорфова пространства Y локально компактно тогда и только тогда, когда X открыто в Y.
- Без гипотезы Хаусдорфа некоторые результаты не согласуются с более слабыми представлениями о локальной компактности.
- Фактор-пространства локально компактных хаусдорфовых пространств генерируются компактно.
-
Локальная равномерная сходимость и компактная сходимость
- Для функций в локально компактном пространстве локальная равномерная сходимость эквивалентна компактной сходимости.
-
Компактификации локально компактных пространств
- Каждое компактное пространство является своей собственной компактификацией.
- Локально компактные хаусдорфовы пространства могут быть вложены в компактные хаусдорфовы пространства с помощью метода уплотнения Стоуна–Чеха или одноточечной компактификации.
- Одноточечная компактификация добавляет одну точку в пространство, что делает его компактным хаусдорфовым.
-
Точка в бесконечности
- Дополнительная точка в одноточечной компактификации представляет собой точку в бесконечности.
- Точку в бесконечности можно рассматривать как лежащую за пределами каждого компактного подмножества исходного пространства.
-
Функции, обращающиеся в нуль на бесконечности
- Непрерывная вещественная или комплекснозначная функция f обращается в нуль на бесконечности, если для любого положительного числа e существует компактное подмножество K, такое, что |f(x)| < e для всех x за пределами K.
- В локально компактных хаусдорфовых пространствах такие функции можно расширить до непрерывной функции g на одноточечной компактификации, где g(∞) = 0.
-
Представление Гельфанда
- Множество C0(X) всех непрерывных комплекснозначных функций на X, обращающихся в нуль на бесконечности, является коммутативной C*-алгеброй.
- Каждая коммутативная C*-алгебра изоморфна C0(X) для некоторого локально компактного хаусдорфова пространства X.
-
Локально компактные группы
- Локальная компактность важна при изучении топологических групп, так как каждая Хаусдорфова локально компактная группа содержит меры Хаара, позволяющие интегрировать измеримые функции.
- Дуал Понтрягина топологической абелевой группы локально компактен тогда и только тогда, когда сама группа локально компактна.
- Изучение локально компактных абелевых групп является основой гармонического анализа, который распространился на неабелевы локально компактные группы.