Оглавление
- 1 Локально выпуклое топологическое векторное пространство
- 1.1 Определение локально выпуклых топологических векторных пространств
- 1.2 История и развитие
- 1.3 Определение с помощью выпуклых множеств
- 1.4 Определение с помощью полунорм
- 1.5 Основа и подосновы
- 1.6 Определение топологии в начале координат
- 1.7 Основы полунорм и насыщенных семейств
- 1.8 Основы норм
- 1.9 Сети
- 1.10 Эквивалентность определений
- 1.11 Способы определения локально выпуклой топологии
- 1.12 Дополнительные определения
- 1.13 Определение псевдометрии
- 1.14 Семейство полунорм
- 1.15 Свойство расширения Хана-Банаха
- 1.16 Топологическое замыкание
- 1.17 Топология хаусдорфовых локально выпуклых пространств
- 1.18 Свойства выпуклых подмножеств
- 1.19 Выпуклые оболочки
- 1.20 Выпуклая оболочка компактного подмножества
- 1.21 Замкнутая выпуклая оболочка в предгильбертовых пространствах
- 1.22 Замкнутая выпуклая оболочка в полных хаусдорфовых локально выпуклых пространствах
- 1.23 Замкнутая выпуклая оболочка в квазиполных локально выпуклых TVS
- 1.24 Замкнутая выпуклая оболочка в хаусдорфовых локально выпуклых TVS
- 1.25 Замкнутая выпуклая оболочка в не-хаусдорфовых TVS
- 1.26 Сбалансированная оболочка
- 1.27 Выпуклая сбалансированная оболочка
- 1.28 Свойства выпуклой оболочки
- 1.29 Примеры и не-примеры
- 1.30 Локально выпуклая топология
- 1.31 Примеры локально выпуклых пространств
- 1.32 Примеры пространств без локальной выпуклости
- 1.33 Непрерывные отображения
- 1.34 Ограничение полунорм
- 1.35 Линейные функционалы
- 1.36 Многолинейные карты
- 1.37 Полный текст статьи:
- 2 Локально выпуклое топологическое векторное пространство
Локально выпуклое топологическое векторное пространство
-
Определение локально выпуклых топологических векторных пространств
- Локально выпуклые топологические векторные пространства (LCTV) обобщают нормированные пространства.
- Они определяются как TVS с топологией, генерируемой перемещениями сбалансированных, поглощающих, выпуклых множеств.
- Альтернативно, они могут быть определены как векторное пространство с семейством полунорм.
-
История и развитие
- Метризуемые топологии изучались с 1902 года.
- В 1935 году фон Нейман ввел общее определение локально выпуклого пространства.
- Теорема Банаха–Алаоглу была доказана в 1932 году.
-
Определение с помощью выпуклых множеств
- Локально выпуклое пространство имеет базис окрестности в начале координат из сбалансированных выпуклых множеств.
- Сбалансированное множество содержит все линейные сегменты между точками.
- Абсолютно выпуклое множество замкнуто при линейных комбинациях с коэффициентами ≤ 1.
-
Определение с помощью полунорм
- Полунорма на X — это карта p: X → R, удовлетворяющая определенным условиям.
- Семейство полунорм индуцирует топологию на X, превращая его в TVS.
- Локально выпуклая топология может быть вызвана несколькими нормами, но X не обязательно нормируемо.
-
Основа и подосновы
- Открытый набор в R ≥ 0 имеет форму [0, r), где r — положительное вещественное число.
- Семейство прообразов p−1([0, r)) является подосновой в начале координат.
- Пересечения конечного числа таких множеств также выпуклы, что делает топологию локально выпуклой.
-
Определение топологии в начале координат
- Топология в начале координат определяется через окрестность начала координат.
- Окрестность начала координат определяется через конечные подмножества и положительные действительные числа.
-
Основы полунорм и насыщенных семейств
- Локально выпуклое пространство определяется базой непрерывных полунорм.
- Насыщенное семейство полунорм индуцирует топологию на локально выпуклом пространстве.
-
Основы норм
- Топология локально выпуклого пространства может быть определена семейством непрерывных норм.
- Если существует непрерывная норма, то пространство является хаусдорфовым.
-
Сети
- Сети в локально выпуклом пространстве определяются через полунормы.
- Сети Коши определяются через полунормы и их производные.
-
Эквивалентность определений
- Определение через базу окрестностей и полунормы эквивалентны.
- Функционал Минковского связывает полунормы и базы окрестностей.
-
Способы определения локально выпуклой топологии
- Локально выпуклая топология определяется через базу фильтров и выпуклые, сбалансированные и поглощающие множества.
- Вспомогательные нормированные пространства создаются через симметричные наборы и функции Минковского.
-
Дополнительные определения
- Семейство полунорм называется разделенным, если оно разделяет баллы.
- Локально выпуклое пространство псевдометризуемо, если оно имеет счетное семейство полунорм.
-
Определение псевдометрии
- Псевдометрия инвариантна к переводу, но не однородна.
- Псевдометрия является честной метрикой, если семейство полунорм разделено.
- Локально выпуклое пространство является полным, если каждая сеть Коши сходится.
-
Семейство полунорм
- Семейство полунорм становится направленным, если существует M > 0 такое, что pα(x) ≤ Mpβ(x) для всех x.
- Каждое семейство полунорм имеет эквивалентное направленное семейство.
- Локально выпуклое пространство с конечным семейством полунорм полунормируемо.
-
Свойство расширения Хана-Банаха
- Векторное подпространство обладает свойством расширения, если любой непрерывный линейный функционал может быть расширен до непрерывного линейного функционала на всем пространстве.
- Хаусдорфово локально выпуклое пространство имеет свойство расширения Хана-Банаха.
-
Топологическое замыкание
- x ∈ clS тогда и только тогда, когда для каждого r > 0 и каждой конечной коллекции p1, …, pn ∈ P существует s ∈ S такой, что ∑i=1n pi(x-s) < r.
- Закрытие {0} в X равно ⋂p∈P p−1(0).
-
Топология хаусдорфовых локально выпуклых пространств
- Каждое Хаусдорфово локально выпуклое пространство гомеоморфно векторному подпространству произведения банаховых пространств.
- Теорема Андерсона-Кадека утверждает, что каждое бесконечномерное сепарабельное пространство Фреше гомеоморфно пространству произведения ∏i∈N R из исчисляемого числа копий R.
-
Свойства выпуклых подмножеств
- Подмножество C является выпуклым тогда и только тогда, когда tC + (1-t)C ⊆ C для всех 0 ≤ t ≤ 1.
- Сумма двух выпуклых множеств по Минковскому является выпуклой.
- Внутренняя часть и замыкание выпуклого подмножества TVS снова являются выпуклыми.
-
Выпуклые оболочки
- Для любого подмножества S из TVX, выпуклая оболочка S, обозначается coS, является наименьшим выпуклым подмножеством X, содержащим S.
-
Выпуклая оболочка компактного подмножества
- Выпуклая оболочка компактного подмножества не обязательно замкнута.
- Пример: в гильбертовом пространстве ℓ2(N) замкнутая выпуклая оболочка компактного подмножества может быть некомпактной.
-
Замкнутая выпуклая оболочка в предгильбертовых пространствах
- Замкнутая выпуклая оболочка в предгильбертовом пространстве может быть некомпактной.
- Пример: замкнутая выпуклая оболочка в предгильбертовом пространстве X может быть некомпактной, если X не является полным.
-
Замкнутая выпуклая оболочка в полных хаусдорфовых локально выпуклых пространствах
- В полных хаусдорфовых локально выпуклых пространствах замкнутая выпуклая оболочка компактного подмножества всегда компактна.
- Пример: в полном хаусдорфовом локально выпуклом пространстве X замкнутая выпуклая оболочка компактного подмножества S всегда компактна.
-
Замкнутая выпуклая оболочка в квазиполных локально выпуклых TVS
- В квазиполных локально выпуклых TVS замкнутая выпуклая оболочка компактного подмножества снова компактна.
-
Замкнутая выпуклая оболочка в хаусдорфовых локально выпуклых TVS
- В хаусдорфовых локально выпуклых TVS выпуклая оболочка предкомпактного множества снова предкомпактна.
- Замкнутая выпуклая оболочка конечного объединения компактных выпуклых множеств замкнута и компактна.
-
Замкнутая выпуклая оболочка в не-хаусдорфовых TVS
- В не-хаусдорфовых TVS существуют подмножества, которые являются компактными, но не замкнутыми.
-
Сбалансированная оболочка
- Сбалансированная оболочка выпуклого множества не обязательно выпукла.
- Сбалансированная оболочка замкнутого множества может быть не замкнутой.
-
Выпуклая сбалансированная оболочка
- Выпуклая сбалансированная оболочка замкнутого множества может быть не замкнутой.
- Выпуклая сбалансированная оболочка замкнутого множества равна замкнутой выпуклой оболочке этого множества.
-
Свойства выпуклой оболочки
- Выпуклая оболочка замкнутого множества не обязательно замкнута.
- Выпуклая оболочка замкнутого множества может быть открытой.
- Выпуклая оболочка замкнутого множества может быть некомпактной.
-
Примеры и не-примеры
- Примеры и не-примеры показывают, что замкнутая выпуклая оболочка может быть некомпактной.
-
Локально выпуклая топология
- Локально выпуклая топология TVS индуцируется набором полунорм.
- Любая локально выпуклая TVS-топология является подмножеством тончайшей локально выпуклой топологии.
- Пространство (X, τ) является Хаусдорфовым и борнологическим.
-
Примеры локально выпуклых пространств
- Каждое нормированное пространство является локально выпуклым.
- Банаховы пространства и пространства Фреше локально выпуклы.
- Пространство Rω из вещественнозначных последовательностей локально выпукло.
- Пространства дифференцируемых функций, такие как пространство Шварца, локально выпуклы.
-
Примеры пространств без локальной выпуклости
- Пространства Lp([0,1]) и Lp(μ) с 0 < p < 1 не локально выпуклы.
- Пространство измеримых функций на [0,1] с топологией векторного пространства не локально выпукло.
- Пространство последовательностей ℓp(N) не локально выпукло.
-
Непрерывные отображения
- Линейное отображение между TVSS непрерывно тогда и только тогда, когда для каждой непрерывной полунормы на Y существует непрерывная полунорма на X, такая что q ∘ T ≤ p.
- Линейная карта T: X → Y непрерывна тогда и только тогда, когда для каждого β существуют α1, …, αn такие, что qβ ≤ pα1 + … + pαn.
-
Ограничение полунорм
- Каждая полунорма из диапазона T ограничена сверху конечной суммой полунорм в области.
- Если семья (pα)α является управляемым семейством, формула упрощается до qβ(Tv) ≤ Mpα(v).
-
Линейные функционалы
- Линейный функционал f на X является непрерывным тогда и только тогда, когда существует непрерывная полунорма p на X такая, что |f| ≤ p.
- Если X является вещественным или комплексным векторным пространством, |f| ≤ p тогда и только тогда, когда f ≤ p.
- Нелинейный функционал f на X является ограниченным тогда и только тогда, когда f−1(1) ∩ {x ∈ X: p(x) < 1} = ∅.
-
Многолинейные карты
- Многолинейный оператор M: ∏i=1n Xi → Y является непрерывным тогда и только тогда, когда для каждого q ∈ Q существуют непрерывные полунормы p1, …, pn на Xi такие, что q(M(x)) ≤ p1(x1) ⋯ pn(xn) для всех x = (x1, …, xn) ∈ ∏i=1n Xi.
- Для каждого q ∈ Q существует окрестность начала координат в ∏i=1n Xi, на которой q∘M ограничен.