Оглавление
Максимальная компактная подгруппа
-
Определение максимальной компактной подгруппы
- Максимальная компактная подгруппа K топологической группы G является подгруппой, которая является компактным пространством в топологии подпространства и максимальной среди таких подгрупп.
- Максимальные компактные подгруппы играют важную роль в классификации групп Ли и полупростых групп Ли.
-
Существование и уникальность
- Теорема Картана-Ивасавы-Мальцева утверждает, что каждая связная группа Ли допускает максимальные компактные подгруппы и что все они сопряжены друг с другом.
- Для полупростых групп Ли единственность следует из теоремы Картана о неподвижной точке.
- Максимальные компактные подгруппы связных групп Ли обычно не уникальны, но уникальны с точностью до сопряжения.
-
Доказательства
- Для реальной полупростой группы Ли доказательство существования и единственности можно найти в работах Бореля и Хельгасона.
- Для полупростых групп существование следует из существования компактной вещественной формы некомпактной полупростой группы Ли и соответствующего разложения Картана.
- Доказательство единственности основано на том, что соответствующее риманово симметричное пространство G / K имеет отрицательную кривизну и теорему Брюа-Титса о неподвижной точке.
-
Приложения
- Максимальные компактные подгруппы играют основную роль в теории представлений, когда G не является компактной.
- Алгебраическая топология групп Ли также определяется максимальной компактной подгруппой K.
- Связная группа Ли является топологическим произведением максимального компакта K и евклидова пространства.