Оглавление
- 1 Математическая формулировка квантовой механики
- 1.1 История квантовой механики
- 1.2 Математические формулировки
- 1.3 Основные идеи
- 1.4 Развитие и обобщения
- 1.5 Математические основы квантовой механики
- 1.6 Развитие квантовой теории
- 1.7 Формулировки квантовой механики
- 1.8 Связь с классической механикой
- 1.9 Философские выводы квантовой механики
- 1.10 Постулаты квантовой механики
- 1.11 Описание состояния системы
- 1.12 Измерение в системе
- 1.13 Влияние измерения на состояние
- 1.14 Обработка дополнительной информации
- 1.15 Обновление состояния после измерения
- 1.16 Постулаты измерения
- 1.17 Эволюция системы во времени
- 1.18 Физические симметрии и операторы плотности
- 1.19 Принцип неопределенности Гейзенберга
- 1.20 Свойства спина и принцип исключения Паули
- 1.21 Принцип исключения Паули
- 1.22 Исключения из постулата симметризации
- 1.23 Математическая структура квантовой механики
- 1.24 Картины динамики
- 1.25 Представления
- 1.26 Время как оператор
- 1.27 Проблема измерения
- 1.28 Проекционная мера и вероятность
- 1.29 Постулат проекции
- 1.30 POVM и измерение
- 1.31 Эволюция и измерение
- 1.32 Математические инструменты
- 1.33 Полный текст статьи:
- 2 Математическая формулировка квантовой механики – Arc.Ask3.Ru
Математическая формулировка квантовой механики
-
История квантовой механики
- Квантовая механика возникла в начале 20 века как ответ на феноменологические наблюдения.
- Планк и Эйнштейн предложили квантовые концепции, но не смогли объяснить их математически.
- Бор и Зоммерфельд модифицировали классическую механику, но не смогли предсказать спектр атома гелия.
-
Математические формулировки
- В 1925-1930 годах Шредингер, Гейзенберг, Борн и другие разработали новые математические основы.
- Шредингер создал волновую механику, Гейзенберг — матричную механику.
- Дирак ввел обозначение брака и абстрактную формулировку в гильбертовом пространстве.
-
Основные идеи
- Квантовое состояние и наблюдаемые величины радикально отличаются от классических моделей.
- Некоммутативность операторов Гейзенберга ограничивает одновременные измерения.
- Квантовая механика основана на вероятностной природе и дополнительности.
-
Развитие и обобщения
- Дирак и фон Нейман разработали аксиомы Дирака-фон Неймана.
- Вейль и другие внесли вклад в развитие гильбертовых пространств и спектральной теории.
- Квантовая механика стала основой для многих современных областей, таких как квантовая информатика и квантовые вычисления.
-
Математические основы квантовой механики
- Квантовая механика основана на работах Джона фон Неймана
- Дискуссии о теории ведутся на основе математических предположений
-
Развитие квантовой теории
- Применение квантовой теории к электромагнетизму привело к квантовой теории поля
- Квантовая теория поля привела к сложным формулировкам квантовой механики
-
Формулировки квантовой механики
- Интеграл по траектории
- Квантовая механика в фазовом пространстве и геометрическое квантование
- Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени
- Аксиоматическая, алгебраическая и конструктивная квантовая теория поля
- C*-алгебраический формализм
- Обобщенная статистическая модель квантовой механики
-
Связь с классической механикой
- Квантовая механика сводится к классическим теориям
- Квантование важно для построения квантовых теорий
-
Философские выводы квантовой механики
- Эйнштейн и Шредингер критиковали философские выводы квантовой механики
- Проблема скрытых переменных стала экспериментальной проблемой
-
Постулаты квантовой механики
- Физическая система описывается состояниями, наблюдаемыми и динамикой
- Квантовое описание включает гильбертово пространство состояний и унитарные преобразования
-
Описание состояния системы
- Состояние системы описывается вектором в гильбертовом пространстве
- Квантовые состояния образуют луч в проективном гильбертовом пространстве
-
Измерение в системе
- Физические наблюдаемые величины представлены эрмитовыми матрицами
- Результаты измерений описываются вероятностями
-
Влияние измерения на состояние
- Измерение дает только один результат
- Некоторые интерпретации квантовой механики утверждают, что измерение меняет состояние системы
-
Обработка дополнительной информации
- Обработка дополнительной информации ограничивает вероятность немедленного повторного измерения.
- В случае дискретного невырожденного спектра измерения дают одно и то же значение.
- Вектор состояния изменяется в результате измерения и сворачивается в собственное подпространство.
-
Обновление состояния после измерения
- Для смешанного состояния обновление задается с помощью оператора проекции.
- Если собственное значение имеет вырожденные собственные векторы, оператор проекции равен сумме этих векторов.
-
Постулаты измерения
- Постулаты измерения включают правило обновления состояния и правило Борна.
- Проекционные меры могут быть обобщены на положительные операторные меры.
-
Эволюция системы во времени
- Временная эволюция описывается уравнением Шредингера.
- Эволюция замкнутой системы описывается унитарным преобразованием.
- Эволюция открытой системы может быть описана квантовыми операциями.
-
Физические симметрии и операторы плотности
- Физические симметрии действуют на гильбертово пространство унитарно или антиединично.
- Операторы плотности находятся в замыкании выпуклой оболочки одномерных ортогональных проекторов.
-
Принцип неопределенности Гейзенберга
- Принцип неопределенности может быть сформулирован как теорема.
- Постулаты квантовой механики могут быть получены из постулатов состояния и измерения.
-
Свойства спина и принцип исключения Паули
- Все частицы обладают спином, который не имеет классического аналога.
- Постулат симметризации требует неразличимости квантовых частиц.
- Вырождение обмена показывает, что волновая функция не уникальна.
- Частицы с целым спином являются бозонами, с полуцелым спином – фермионами.
-
Принцип исключения Паули
- Волновая функция системы из N частиц должна воспроизводиться при перестановке любых двух частиц, за исключением префактора (-1)2S.
- Фермионы имеют S = 1/2, бозоны — S = 1.
- Фермионы не могут использовать один и тот же набор квантовых чисел, бозоны могут.
-
Исключения из постулата симметризации
- В нерелятивистской квантовой механике все частицы либо бозоны, либо фермионы.
- В релятивистских квантовых теориях возможны суперсимметричные теории.
- В d = 2 можно построить объекты с произвольным комплексным числом величиной 1, называемые anyons.
-
Математическая структура квантовой механики
- Временная эволюция состояния задается уравнением Шредингера.
- Гамильтониан H соответствует полной энергии системы.
- Существует строго непрерывное однопараметрическое унитарное отображение U(t), такое что |ψ(t+s)⟩ = U(t)|ψ(s)⟩.
-
Картины динамики
- Картина Шредингера наиболее проста для визуализации и понимания.
- Картина Гейзенберга ближе к классической гамильтоновой механике.
- Картина Дирака используется в теории возмущений и связана с квантовой теорией поля.
-
Представления
- Исходная форма уравнения Шредингера зависит от выбора представления.
- Теорема Стоуна–фон Неймана утверждает, что все неприводимые представления унитарно эквивалентны.
- Квантовый гармонический осциллятор имеет различные представления, которые унитарно эквивалентны.
-
Время как оператор
- Время можно рассматривать как наблюдаемую величину, связанную с самосопряженным оператором.
- Преобразования в s генерируются “гамильтонианом” H − E.
- Физические состояния остаются неизменными в результате “s-эволюции”.
-
Проблема измерения
- Картина, приведенная в предыдущих параграфах, описывает изолированную систему.
- Фон Неймановское описание квантового измерения учитывает эффекты измерения.
- Вероятность результата измерения находится в интервале B от R равна |EA(B)|2.
-
Проекционная мера и вероятность
- Проекционная мера EA(B) равна |ψi⟩⟨ψi| для борелевского множества B.
- Вероятность измерения λi равна |⟨ψ|ψi⟩|2.
-
Постулат проекции
- Повторение измерения дает одинаковые результаты.
- Это свойство называется постулатом проекции.
-
POVM и измерение
- POVM заменяет проекционную меру на набор положительных операторов.
- Система переходит в состояние Fi|ψ⟩ после измерения.
- Постулат проекции не выполняется для POVM.
-
Эволюция и измерение
- Эволюция во времени детерминирована и унитарна.
- Измерение недетерминировано и неунитарно.
- Формализм POVM рассматривает измерение как квантовую операцию.
-
Математические инструменты
- Линейная алгебра, функциональный анализ, дифференциальные уравнения, гармонический анализ.
- Математика теории была традиционной, физика радикально новой.