Метаплектическая группа
-
Определение метаплектической группы
- Метаплектическая группа Mp2n является двойным покрытием симплектической группы Sp2n.
- Она может быть определена для вещественных и p-адических чисел, а также для произвольного локального или конечного поля и кольца аделей.
- Метаплектическая группа имеет важное бесконечномерное линейное представление — представление Вейля.
-
Явная конструкция для n = 1
- В случае n = 1 симплектическая группа совпадает со специальной линейной группой SL2(R).
- Метаплектическая группа Mp2(R) состоит из пар (g, ε), где g ∈ SL2(R) и ε — голоморфная функция на верхней полуплоскости.
- Закон умножения определяется через соотношение коциклов.
-
Построение представления Вейля
- Группа Гейзенберга имеет неприводимое унитарное представление в гильбертовом пространстве H.
- Автоморфизмы группы Гейзенберга образуют симплектическую группу, которая действует на H.
- Метаплектическая группа является центральным расширением симплектической группы.
-
Обобщения
- Вейль показал, как расширить теорию, заменив R любой локально компактной абелевой группой G.
- Гильбертово пространство H является пространством всех функций L2 на G.
- Метаплектическая группа является двойным покрытием симплектической группы Sp2n (G).
-
Примеры обобщений
- G может быть векторным пространством над реалами размерности n, что дает метаплектическую группу Sp2n (R).
- G может быть векторным пространством над локальным полем F размерности n, что дает метаплектическую группу Sp2n (F).
- G может быть векторным пространством над вершинами числового поля, что используется в теоретико-представительном подходе к автоморфным формам.
- G может быть конечной группой, что дает конечную метаплектическую группу, используемую в теории тета-функций решеток.
-
Современная точка зрения
- Дэвид Каждан предложил каноническую реализацию линейного представления Вейля над конечным полем.
- Гуревич-Хадани построили такую реализацию с помощью канонических переплетающихся операторов.