Оглавление
Модульная кривая
-
Определение модулярных кривых
- Модулярные кривые Y(Γ) — это римановы поверхности, построенные как частное от комплексной верхней полуплоскости H под действием подгруппы конгруэнтности Γ модулярной группы SL(2, Z).
- Компактифицированные модулярные кривые X(Γ) получаются добавлением конечного числа точек (острий Γ) к частному.
-
Аналитическое определение
- Модулярная группа SL(2, Z) воздействует на верхнюю полуплоскость дробными линейными преобразованиями.
- Подгруппа конгруэнтности Γ выбирается из SL(2, Z) и определяет уровень Γ.
- Частное Γ \ H можно наложить сложную структуру для получения модулярной кривой Y(Γ).
-
Компактифицированные модулярные кривые
- Компактификация Y(Γ) получается добавлением конечного числа точек (острий Γ) к H*.
- Группа Γ воздействует на подмножество Q ∪ {∞}, разбивая его на орбиты, называемые остриями Γ.
- Пространство Γ \ H* становится компактификацией Y(Γ) по Александрову.
-
Примеры модулярных кривых
- X(5) — сфера Римана с 12 остриями, покрытая икосаэдрической группой.
- X(7) — квадратура Клейна рода 3 с 24 вершинами, покрытая группой PSL(2, 7).
- X0(N) — классическая модульная кривая, определяемая как пространство модулей для эллиптических кривых с N-кручением.
-
Род модулярных кривых
- Род модулярной кривой X(N) можно вычислить по формуле Римана–Гурвица и теореме Гаусса–Бонне.
- X(5) имеет род 0, X(7) — род 3, X(11) — род 26.
- X0(N) имеет нулевой род для N = 1, …, 10 и N = 12.
-
Связь с группой монстров
- Модулярные кривые рода 0 связаны с чудовищными гипотезами о самогоноварении.
- Модулярные кривые, соответствующие нормализатору Γ0(p)+ Γ0(p), имеют нулевой род при определенных значениях p.
- Это соотношение включает обобщенные алгебры Каца–Муди и подчеркивает важность модулярных функций.