Оглавление
- 1 Теория модульного представления
- 1.1 Теория модульных представлений
- 1.2 История и развитие
- 1.3 Примеры и интерпретации
- 1.4 Теория колец и символы Брауэра
- 1.5 Неприводимые символы и редукция (mod p)
- 1.6 Блоки и проекционные модули
- 1.7 Определение внутреннего произведения символов Брауэра
- 1.8 Кратность обычного неприводимого символа
- 1.9 Матрица декомпозиции и матрица Картана
- 1.10 Группы дефектов
- 1.11 Взаимосвязи между группой дефектов и теорией символов
- 1.12 Типы блоков
- 1.13 Полный текст статьи:
- 2 Модульная теория представлений
Теория модульного представления
-
Теория модульных представлений
- Изучает линейные представления конечных групп над полем K с положительной характеристикой p.
- Применяется в теории групп, алгебраической геометрии, теории кодирования, комбинаторике и теории чисел.
-
История и развитие
- Диксон (1902) показал, что при p не разделяющем порядок группы, теория аналогична характеристике 0.
- Брауэр (1935) начал систематическое изучение модульных представлений при p, разделяющем порядок группы.
-
Примеры и интерпретации
- Нахождение представления циклической группы из двух элементов над F2 эквивалентно нахождению матриц, квадрат которых является единичной матрицей.
- В алгебраически замкнутом поле с положительной характеристикой теория представлений объясняется теорией жордановой нормальной формы.
-
Теория колец и символы Брауэра
- Групповая алгебра K[G] является артиновым кольцом.
- При p, разделяющем порядок группы, групповая алгебра не является полупростой и имеет ненулевой радикал Якобсона.
- Брауэр ввел понятие характера Брауэра, присваивающего каждому элементу группы сумму комплексных корней из единицы.
-
Неприводимые символы и редукция (mod p)
- Неприводимые символы Брауэра определяются простыми модулями.
- Каждый R[G]-модуль порождает F[G]-модуль и может быть редуцирован к K[G]-модулю.
-
Блоки и проекционные модули
- Групповая алгебра может быть разложена на блоки, соответствующие примитивным идемпотентам.
- Простые модули редко являются проективными, но их цоколи изоморфны вершинам.
- Каждый проективный модуль может быть преобразован в модуль в характеристике 0.
-
Определение внутреннего произведения символов Брауэра
- Внутреннее произведение символа Брауэра равно 0, если второй символ Брауэра не является символом цоколя неизоморфной проективной неразложимости.
- Внутреннее произведение равно 1, если второй символ Брауэра является символом цоколя проективной неразложимости.
-
Кратность обычного неприводимого символа
- Кратность обычного неприводимого символа в характере подъема проективной неразложимой системы равна числу проявлений брауэровского характера цоколя проективной неразложимой.
-
Матрица декомпозиции и матрица Картана
- Композиционные коэффициенты проективных неразложимых модулей вычисляются через матрицу декомпозиции.
- Матрица Картана симметрична и не является сингулярной, её определитель равен степени характерной черты К.
-
Группы дефектов
- С каждым блоком групповой алгебры связана p-подгруппа, известная как дефектная группа.
- Группа дефектов уникальна и оказывает сильное влияние на структуру блока.
- Если группа дефектов тривиальна, блок содержит только один простой модуль и один обычный символ.
-
Взаимосвязи между группой дефектов и теорией символов
- Группа дефектов связана с теорией представлений и имеет множество арифметических характеристик.
- Степень p, делящая индекс группы дефектов, является наибольшим общим делителем степеней p, разделяющих размеры простых модулей.
-
Типы блоков
- Блоки с циклической группой дефектов имеют конечное число типов изоморфизма неразложимых модулей.
- Блоки с нециклической группой дефектов делятся на ручные и дикие.
- Ручные блоки имеют дефектную группу диэдрическую, полудиэдрическую или группу кватернионов.
- Дикие блоки трудно классифицировать.