Мотив (алгебраическая геометрия)

• Определение и структура мотивов

  • Мотивы — это категории, которые классифицируют алгебраические многообразия по их когомологиям. 
  • Мотивы являются категорией с морфизмами, сохраняющими структуру когомологий. 
  • Мотивы имеют тензорную структуру, где произведение многообразий соответствует их произведению. 

• Примеры мотивов

  • Мотивы Тейта являются фундаментальными строительными блоками в категории мотивов. 
  • Мотивы кривых — это мотивы, связанные с проективными кривыми, и их чау-ринг включает в себя группу Пикара. 

• Классификация алгебраических многообразий

  • Изучение многообразий до бирационального изоморфизма привело к области бирациональной геометрии. 
  • Когомологии являются попыткой найти универсальный способ линеаризации многообразий. 

• Универсальные когомологии

  • Мотивы отражают различные структурные аспекты многообразий и имеют общие свойства с различными теориями когомологий Вейля. 
  • Теория мотивов стремится найти универсальную теорию, объединяющую все эти теории. 

• Мотивирующие когомологии

  • Мотивирующие когомологии были разработаны до смешанных мотивов и связаны с алгебраической K-теорией. 
  • Стандартные гипотезы, связанные с мотивами, являются сложными и в общем случае остаются открытыми. 

• Гипотезы Вейля

  • Стандартные гипотезы касаются взаимодействия алгебраических циклов и теорий когомологий Вейля. 
  • Гротендик и Бомбьери показали глубину мотивационного подхода, доказав гипотезы Вейля, предполагая истинность стандартных гипотез. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.