Необязательная теорема об остановке
-
Теорема о необязательной остановке
- Теорема утверждает, что ожидаемое значение мартингейла во время остановки равно его первоначальному ожидаемому значению.
- Применяется к стратегиям удвоения и является важным инструментом в математических финансах.
-
Условия теоремы
- Процесс X должен быть мартингейлом с дискретным временем.
- Время остановки τ должно быть в N0 ∪ {∞} относительно фильтрации (Ft)t∈N0.
- Одно из условий: (a) Xt почти наверняка четко определена, (b) Xt почти наверняка существует, (c) τ = ∞ с положительной вероятностью.
-
Приложения
- Теорема используется для доказательства невозможности успешных стратегий ставок.
- Пример: игрок с ограниченным сроком службы или лимитом ставок.
- Случайное блуждание: ожидаемое место остановки равно начальному положению.
-
Доказательство
- Процесс Xt сходится к случайной величине Xt.
- При условии (a) или (b) Xt четко определена.
- При условии (c) Xt ограничен и сходится к Xt.
- Доминирующая случайная величина M интегрируема.
- Теорема о доминирующей сходимости подразумевает E[Xt] = E[X0].