Оглавление
Непрерывная функция Коши
-
Определение непрерывных функций Коши
- Непрерывные функции Коши — это функции между метрическими пространствами, которые могут быть расширены до завершения Коши.
- Функция f: X → Y непрерывна по Коши, если для любой последовательности Коши в X последовательность f(x1), f(x2), …, f(xn) является последовательностью Коши в Y.
-
Свойства непрерывных функций Коши
- Каждая равномерно непрерывная функция является непрерывной по Коши.
- Если X полностью ограничено, то каждая непрерывная по Коши функция равномерно непрерывна.
- Если X не полностью ограничено, но Y полностью, то непрерывная функция Коши может быть расширена до непрерывной функции на X.
- Если X компактно, то непрерывные, непрерывные по Коши и равномерно непрерывные отображения на X совпадают.
-
Примеры и не-примеры
- На R непрерывные функции являются непрерывными по Коши.
- На Q непрерывные функции могут не быть непрерывными по Коши, например, функция f(x) = 0 при x^2 < 2 и 1 при x^2 > 2.
- Функция f(x) = 2^x непрерывна по Коши на Q, но не равномерно непрерывна.
-
Обобщения
- Непрерывность Коши применима к более общим пространствам, таким как однородные пространства и пространства Коши.
- Функция f непрерывна по Коши, если для любого фильтра Коши на X, f(F) является фильтром Коши на Y.
- Любой направленный набор A можно преобразовать в пространство Коши, и сети Коши в Y, индексированные по A, совпадают с непрерывными функциями Коши из A в Y.
- Если Y завершено, то расширение функции до A ∪ {∞} выдает значение предела сети.