Номер пересечения
-
Определение числа пересечений
- Число пересечений обобщает понятие пересечения кривых для более высоких измерений и множественных кривых.
- Для римановых поверхностей число пересечений определяется через интеграл.
- Для алгебраических многообразий число пересечений вычисляется поэтапно.
-
Формула Tor Серра
- Формула Tor Серра связывает геометрическое понятие пересечения с гомологическим понятием производного тензорного произведения.
- Формула используется для нахождения кратности каждой точки пересечения.
-
Дополнительные определения
- Число пересечений может быть обобщено для пересечений вдоль подмногообразий и для произвольных полных многообразий.
- В алгебраической топологии число пересечений обозначается как дуал Пуанкаре кубкового произведения.
-
Определение числа пересечений по Снапперу–Клейману
- Число пересечений определяется как эйлерова характеристика.
- Используется группа Гротендика и первый класс Черна.
-
Кратности пересечений для плоских кривых
- Каждому триплету кривых присваивается функция, называемая кратностью пересечения.
- Кратность пересечения удовлетворяет определенным свойствам.
-
Определение множественности пересечений
- Множественность пересечений определяется как размерность фактор-пространства кольца степенных рядов.
- В координатах, где p = (0, 0), кривые не имеют других пересечений с y = 0, и степень P в отношении x равна общей степени P.
- Кратность пересечения может быть определена как наивысшая степень y, которая делит результирующую из P и Q.
-
Примеры и приложения
- Пример: пересечение оси x с параболой y = x^2 у истоков имеет кратность два.
- Кривые y = x^m и y = x^n с целыми числами m > n ≥ 0 пересекаются в начале координат с множественностью n.
- Самопересечения могут быть четко определенными и даже отрицательными.
- Число пересечений возникает при изучении неподвижных точек и приводит к теореме Лефшеца о фиксированной точке.