Оглавление
- 1 Норма оператора
- 1.1 Определение операторной нормы
- 1.2 Примеры операторных норм
- 1.3 Эквивалентные определения
- 1.4 Свойства операторной нормы
- 1.5 Таблица общепринятых норм
- 1.6 Операторы в гильбертовом пространстве
- 1.7 Спектральный радиус и операторная норма
- 1.8 Вычисление операторной нормы
- 1.9 Неотделимость пространства ограниченных операторов
- 1.10 C*-алгебра ограниченных операторов
- 1.11 Полный текст статьи:
- 2 Норма оператора – Arc.Ask3.Ru
Норма оператора
-
Определение операторной нормы
- Операторная норма измеряет “размер” линейных операторов.
- Формально это норма в пространстве ограниченных линейных операторов между нормированными векторными пространствами.
- Неофициально, норма оператора — это максимальный коэффициент, на который он “удлиняет” векторы.
-
Примеры операторных норм
- Матричные нормы зависят от выбора норм для векторных пространств.
- В евклидовом пространстве матричная норма равна квадратному корню из наибольшего собственного значения.
- В пространстве последовательностей ℓ2 операторная норма равна норме последовательности.
-
Эквивалентные определения
- Первые четыре определения операторной нормы эквивалентны.
- Если V ≠ {0}, то все определения эквивалентны.
- Операторная норма не гарантируется достижением на закрытом шарике блока.
-
Свойства операторной нормы
- Операторная норма является нормой для пространства ограниченных операторов.
- Норма оператора ≥ 0 и равна 0 тогда и только тогда, когда оператор равен нулю.
- Операторная норма совместима с композицией и умножением операторов.
-
Таблица общепринятых норм
- Различные нормы для кодовой и предметной областей дают разные значения для нормы оператора.
- Некоторые нормы легко вычислить, другие требуют NP-сложных операций.
- Норма сопряжения или транспонирования может быть вычислена через сопряженные значения Гельдера.
-
Операторы в гильбертовом пространстве
- В гильбертовом пространстве операторная норма равна норме сопряженного оператора.
- Норма произведения сопряженного и сопряженного оператора равна норме оператора в квадрате.
-
Спектральный радиус и операторная норма
- Спектральный радиус оператора ограничен сверху операторной нормой.
- В конечномерном случае равенство может не соблюдаться из-за ненулевых значений в супердиагонале.
- Квазинильпотентные операторы имеют спектр {0} и ρ(A) = 0 при ‖A‖операция > 0.
- Нормальные матрицы имеют диагональную Жорданову каноническую форму, и ρ(N) = ‖N‖операция.
-
Вычисление операторной нормы
- Операторная норма может быть вычислена через эрмитов оператор B = A∗A.
- Спектральный радиус B равен квадратному корню из операторной нормы A.
-
Неотделимость пространства ограниченных операторов
- Пространство ограниченных операторов на гильбертовом пространстве неотделимо.
- Пример: пространство Lp L2[0,1] с операторами умножения на характерные функции.
-
C*-алгебра ограниченных операторов
- Ассоциативная алгебра всех ограниченных операторов в гильбертовом пространстве образует C*-алгебру.