Оглавление
- 1 Нормированное векторное пространство
- 1.1 Определение нормированного векторного пространства
- 1.2 Свойства нормы
- 1.3 Топологическая структура
- 1.4 Полунормированные пространства
- 1.5 Эквивалентность норм
- 1.6 Локальная компактность
- 1.7 Нормируемость и двойственные пространства
- 1.8 Нормируемые и не нормируемые пространства
- 1.9 Линейные отображения и двойные пространства
- 1.10 Нормированные пространства как частные полунормированных пространств
- 1.11 Конечные продуктовые пространства
- 1.12 Полный текст статьи:
- 2 Нормированное векторное пространство
Нормированное векторное пространство
-
Определение нормированного векторного пространства
- Нормированное векторное пространство — это векторное пространство над действительными или комплексными числами с определенной нормой.
- Норма — это обобщение понятия “длина” в физическом мире.
-
Свойства нормы
- Норма удовлетворяет аксиомам неотрицательности, позитивной определенности, абсолютной однородности и неравенству треугольника.
- Норма индуцирует расстояние, называемое индуцированной метрикой.
-
Топологическая структура
- Нормальное векторное пространство является метрическим и топологическим векторным пространством.
- Нормальное пространство является полным, если оно является банаховым пространством.
-
Полунормированные пространства
- Полунормированное векторное пространство — это векторное пространство с полунормой.
- Полунормированные пространства являются псевдометрическими и топологическими векторными пространствами.
-
Эквивалентность норм
- Две нормы в одном векторном пространстве эквивалентны, если они определяют одну и ту же топологию.
- В конечномерных пространствах все нормы эквивалентны.
-
Локальная компактность
- Нормированное векторное пространство локально компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно.
- Топология полунормированного векторного пространства обладает свойствами, полезными в функциональном анализе.
-
Нормируемость и двойственные пространства
- Топологическое векторное пространство нормируемо, если существует норма, индуцирующая его топологию.
- Произведение нормируемых пространств нормируемо, если только конечное число пространств нетривиально.
- Частное нормируемого пространства замкнутым подпространством нормируемо.
- Хаусдорфово локально выпуклое топологическое векторное пространство нормально тогда и только тогда, когда его сильное двойственное пространство нормируемо и поддается метризации.
-
Нормируемые и не нормируемые пространства
- Нормируемое пространство определяется как пространство с нормируемой слабой-* топологией.
- Пространство Фреше C∞(K) не является нормируемым, так как не существует нормы, индуцирующей его топологию.
- Метризуемое топологическое векторное пространство может не быть нормируемым, если его топология не определяется одной нормой.
-
Линейные отображения и двойные пространства
- Непрерывные линейные отображения между нормированными пространствами образуют категорию.
- Изометрия сохраняет норму и является непрерывным и инъективным отображением.
- Изометрический изоморфизм между нормированными пространствами делает их изометрически изоморфными.
- Двойное пространство нормированного пространства состоит из непрерывных линейных функционалов.
-
Нормированные пространства как частные полунормированных пространств
- Нормированные пространства определяются как фактор-пространства полунормированных пространств.
- Пример: Lp-пространства определяются как фактор-пространства полунормированного пространства функций с конечным интегралом Лебега.
-
Конечные продуктовые пространства
- Пространство продукта полунормированных пространств определяется как сумма произведений полунорм.
- Функция q является нормой тогда и только тогда, когда все qi являются нормами.
- Единственные конечномерные полунормированные пространства возникают как произведение нормированного пространства и пространства с тривиальной полунормой.