Оглавление
Обратная задача Галуа
-
Определение и свойства групп Галуа
- Группа Галуа – это группа, порожденная корнями многочлена с рациональными коэффициентами.
- Группа Галуа связана с полем разложения многочлена и его корнями.
- Группа Галуа является подгруппой группы всех линейных преобразований поля разложения.
-
Группы Галуа и алгебраические расширения
- Группа Галуа многочлена с рациональными коэффициентами является подгруппой группы всех линейных преобразований поля разложения.
- Поле разложения многочлена является расширением поля рациональных чисел, которое содержит корни многочлена.
- Группа Галуа может быть использована для описания всех линейных преобразований в поле разложения.
-
Примеры групп Галуа
- Группы Галуа для многочленов с рациональными коэффициентами включают циклические группы, симметричные и чередующиеся группы, а также жесткие множества.
- Примеры циклических групп включают группы Галуа для многочленов с простыми корнями.
- Симметричные и чередующиеся группы могут быть представлены как группы Галуа многочленов с рациональными коэффициентами, которые удовлетворяют определенным условиям.
- Жесткие множества могут быть использованы для реализации конечных простых групп как групп Галуа над рациональными числами.
-
Теорема о неприводимости Гильберта
- Теорема о неприводимости Гильберта утверждает, что любой многочлен с рациональными коэффициентами, который неприводим над полем рациональных чисел, также неприводим над любым его расширением.
- Эта теорема позволяет использовать рациональные числа для построения групп Галуа многочленов с рациональными коэффициентами.
-
Применение групп Галуа
- Группы Галуа используются для описания линейных преобразований в алгебраических расширениях поля рациональных чисел.
- Они также применяются для изучения конечных простых групп и их представлений в виде групп Галуа.
Полный текст статьи: