Обратная задача Галуа

• Определение и свойства групп Галуа

  • Группа Галуа — это группа, порожденная корнями многочлена с рациональными коэффициентами. 
  • Группа Галуа связана с полем разложения многочлена и его корнями. 
  • Группа Галуа является подгруппой группы всех линейных преобразований поля разложения. 

• Группы Галуа и алгебраические расширения

  • Группа Галуа многочлена с рациональными коэффициентами является подгруппой группы всех линейных преобразований поля разложения. 
  • Поле разложения многочлена является расширением поля рациональных чисел, которое содержит корни многочлена. 
  • Группа Галуа может быть использована для описания всех линейных преобразований в поле разложения. 

• Примеры групп Галуа

  • Группы Галуа для многочленов с рациональными коэффициентами включают циклические группы, симметричные и чередующиеся группы, а также жесткие множества. 
  • Примеры циклических групп включают группы Галуа для многочленов с простыми корнями. 
  • Симметричные и чередующиеся группы могут быть представлены как группы Галуа многочленов с рациональными коэффициентами, которые удовлетворяют определенным условиям. 
  • Жесткие множества могут быть использованы для реализации конечных простых групп как групп Галуа над рациональными числами. 

• Теорема о неприводимости Гильберта

  • Теорема о неприводимости Гильберта утверждает, что любой многочлен с рациональными коэффициентами, который неприводим над полем рациональных чисел, также неприводим над любым его расширением. 
  • Эта теорема позволяет использовать рациональные числа для построения групп Галуа многочленов с рациональными коэффициентами. 

• Применение групп Галуа

  • Группы Галуа используются для описания линейных преобразований в алгебраических расширениях поля рациональных чисел. 
  • Они также применяются для изучения конечных простых групп и их представлений в виде групп Галуа.