Оглавление
Ограниченная функция
-
Определение ограниченности функции
- Функция f, определенная на множестве X с вещественными или комплексными значениями, называется ограниченной, если множество её значений ограничено.
- Функция, которая не ограничена, называется неограниченной.
- Функция ограничена сверху, если существует действительное число A такое, что f(x) ≤ A для всех x в X.
- Функция ограничена снизу, если существует действительное число B такое, что f(x) ≥ B для всех x в X.
- Вещественнозначная функция ограничена тогда и только тогда, когда она ограничена сверху и снизу.
-
Ограниченные последовательности
- Последовательность f = (a0, a1, a2, …) ограничена, если существует действительное число M такое, что для каждого натурального числа n выполняется f(n) ≤ M.
- Множество всех ограниченных последовательностей образует пространство последовательностей l∞.
-
Обобщение на функции в более общем пространстве
- Определение ограниченности может быть обобщено на функции f: X → Y, требующие, чтобы изображение f(X) было ограниченным множеством в Y.
-
Связанные понятия
- Локальная ограниченность является более слабой, чем ограниченность.
- Семейство ограниченных функций может быть равномерно ограничено.
- Ограниченный оператор T: X → Y не является ограниченной функцией, но сохраняет ограниченность.
-
Примеры
- Синусоидальная функция ограничена, так как |sin(x)| ≤ 1 для всех x ∈ R.
- Функция f(x) = (x2 − 1)−1, определенная для всех реальных x за исключением -1 и 1, является неограниченной.
- Функция f(x) = (x2 + 1)−1, определенная для всех реальных x, является ограниченной.
- Обратная тригонометрическая функция арктангенс ограничена интервалом −π/2 < y < π/2.
-
Теоремы и следствия
- Каждая непрерывная функция на замкнутом интервале, такая как f: [0, 1] → R, ограничена.
- Все комплекснозначные функции f: C → C, которые являются целыми, либо неограничены, либо постоянны.
- Функция f, которая принимает значение 0 для x рациональное число и 1 для x иррациональное число, ограничена.
-
Множество ограниченных функций
- Множество всех ограниченных функций, определенных на [0, 1], намного больше, чем набор непрерывных функций на этом интервале.
- Непрерывные функции не обязательно должны быть ограниченными, например, функции g: R2 → R и h: (0, 1)2 → R, определенные как g(x, y) := x + y и h(x, y) := 1/x + y, соответственно, непрерывны, но не ограничены.