Оглавление
Искаженное Гильбертово пространство
-
Определение сфальсифицированного Гильбертова пространства
- Конструкция для увязки распределительных и интегрируемых по квадратам аспектов функционального анализа
- Объединяет “связанное состояние” и “непрерывный спектр”
- Позволяет сформулировать спектральную теорему для неограниченных операторов
-
Мотивация и подход
- Функция x ↦ e^ix является собственной функцией, но не интегрируется по квадрату
- Аппарат распределений обеспечивает выход за строгие рамки теории Гильбертова пространства
- Сфальсифицированное Гильбертово пространство помещает эту идею в абстрактную функционально-аналитическую структуру
-
Формальное определение
- Состоит из гильбертова пространства H и подпространства Φ с более тонкой топологией
- Φ является плотным в H для нормы Гильберта
- Φ* реализуется как пространство распределений или обобщенных функций
- Φ* отождествляется с H через теорему о представлении Рисса
-
Примеры и формальное определение
- Φ является ядерным пространством, состоящим из тестовых функций
- Пространства Соболева: H = L2(Rn), Φ = Hs(Rn), Φ* = H−s(Rn)
- Формальное определение: пара (H, Φ), где H – гильбертово пространство, Φ – плотное подпространство с непрерывной топологией
- Сопряжение двойственности между Φ и Φ* совместимо с внутренним произведением на H
-
Тройка Гельфанда
- (Φ, H, Φ*) часто называется “тройкой Гельфанда”
- H называется опорным пространством
- Изоморфизм Φ и Φ* не совпадает с составом включения i с присоединенным i*