Оглавление
Параметрическая поверхность
-
Основы параметризации поверхностей
- Параметризация – это способ описания поверхности через координаты (u, v).
- Первая фундаментальная форма описывает кривизну и длину дуги параметризованных кривых.
- Вторая фундаментальная форма определяет кривизну и является квадратичной формой в касательной плоскости.
-
Инварианты кривизны
- Гауссова кривизна и средняя кривизна являются важными дифференциально-геометрическими инвариантами.
- Главные кривизны являются корнями квадратного уравнения, определяемого первой и второй фундаментальными формами.
- Знак гауссовой кривизны определяет форму поверхности в окрестности точки.
-
Связь фундаментальных форм
- Коэффициенты первой и второй фундаментальных форм могут быть организованы в матрицы.
- Текущая матрица A = F1−1F2 определяет главные кривизны как собственные значения.
- Главные векторы, соответствующие главным кривизнам, могут быть найдены как собственные векторы матрицы A.