Чрезмерно детерминированная система
-
Определение переопределенной системы уравнений
- Система уравнений с большим числом уравнений по сравнению с неизвестными.
- Может иметь бесконечно много решений или не иметь решений.
-
Примеры переопределенных систем
- Пример с тремя уравнениями и четырьмя неизвестными.
- Пример с двумя уравнениями и тремя неизвестными.
-
Теорема Руше-Капелли
- Система уравнений несовместима, если ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы коэффициентов.
- Система имеет хотя бы одно решение, если ранги равны.
- Общее решение имеет k свободных параметров при k = n — ранг.
-
Решение переопределенных систем
- Матричное решение возможно при использовании матричной алгебры.
- Метод наименьших квадратов может использоваться для приближенных решений.
- QR-факторизация и сингулярная декомпозиция применяются для численной точности.
-
Переопределенные нелинейные системы
- Система уравнений может быть записана в виде нелинейных функций.
- Итерация Гаусса-Ньютона используется для локально квадратичного приближения решений.
-
Применение в общем случае
- Концепция применима к системам полиномиальных уравнений и уравнений в частных производных.
- Примеры показывают, что переопределенные системы могут иметь решения, которые не следуют из других уравнений.
Полный текст статьи: