Оглавление
Периодическая точка
-
Периодические точки функций
- Точка x называется периодической, если существует n>0 такое, что fn = x для всех n.
- Наименьшее n, удовлетворяющее этому условию, называется простым периодом точки x.
- Если каждая точка в X является периодической с одинаковым периодом n, то f называется периодической с периодом n.
- Если существуют различные n и m такие, что fn = x и fn = x, то x называется предпериодической точкой.
-
Гиперболические и притягивающие точки
- Если производная fn’ определена, то периодическая точка называется гиперболической, если fn’ > 0, и притягивающей, если fn’ < 0.
- Если размерность устойчивого многообразия периодической точки равна нулю, точка называется источником.
- Если размерность неустойчивого многообразия равна нулю, точка называется стоком.
- Если оба многообразия имеют ненулевую размерность, точка называется седлом.
-
Примеры периодических точек
- Точка с периодом в одну точку называется фиксированной точкой.
- Логистическая карта проявляет периодичность при различных значениях параметра r.
- Для r между 0 и 1 0 является единственной периодической точкой с периодом 1.
- Для r между 1 и 3 0 все еще является периодическим, но не притягивающим, а значение r-1/r является притягивающей периодической точкой периода 1.
- С r больше 3, но меньше 1+√6, существует пара периодов-2 балла, которые вместе образуют привлекающую последовательность, а также период без привлечения-1 балл, 0 и r-1/r.
- Когда значение параметра r приближается к 4, возникают группы периодических точек с любым положительным целым числом периодов.
-
Периодические точки в динамических системах
- Точка x в X называется периодической с периодом T, если Φ(t, x) = Φ(t+T, x) для всех t в R.
- Наименьшее положительное значение T, обладающее этим свойством, называется простым периодом точки x.
- Если задана периодическая точка x, то все точки на орбите от yx до x являются периодическими с одинаковым простым периодом.