Оглавление [Скрыть]
- 1 Подосновы
- 1.1 Определение подосновы
- 1.2 Альтернативное определение
- 1.3 Примеры
- 1.4 Результаты с использованием подоснов
- 1.5 Теорема Александера о подоснове
- 1.6 Определение компактности
- 1.7 Доказательство от противного
- 1.8 Использование леммы Цорна
- 1.9 Применение к другим пространствам
- 1.10 Дополнительные замечания
- 1.11 Полный текст статьи:
- 2 Подбаза
Подосновы
-
Определение подосновы
- Подоснова — это вложенная коллекция B от топологии τ, порождающая τ.
- B удовлетворяет одному из двух условий: генерирует τ или формирует основу для τ.
- Для любой подколлекции S из ℘(X) существует уникальная топология с S как подосновой.
-
Альтернативное определение
- Реже используется определение, требующее, чтобы B покрывала X.
- Это определение не всегда эквивалентно предыдущим.
-
Примеры
- Топология, генерируемая пустым множеством, равна тривиальной топологии.
- Любая основа для τ также является основой для τ.
- Обычная топология на R имеет подоснову из полубесконечных открытых интервалов.
- Исходная топология на X определяется семейством функций f, где f−1(U) является подосновой.
- Компактно-открытая топология на пространстве непрерывных функций имеет подоснову V(K,U).
-
Результаты с использованием подоснов
- Непрерывность функции проверяется только на подоснове диапазона.
- Сеть сходится к точке тогда и только тогда, когда каждая подосновная окрестность содержит все точки.
-
Теорема Александера о подоснове
- Теорема утверждает, что каждое подосновное покрытие имеет конечное подпокрытие.
- Обратное утверждение также верно, если S = τ.
-
Определение компактности
- Компактность означает, что любое открытое покрытие имеет конечное подпокрытие.
- Частичный порядок S используется для поиска максимального элемента C, который является открытой обложкой X и не имеет конечного подпокрытия.
-
Доказательство от противного
- Если C ∩ S не является обложкой X, то существует точка x, не покрытая C ∩ S.
- Для каждого i = 1, …, n, существует конечное подмножество C_i от C, такое что {Si} ∪ C_i образует конечное покрытие X.
- Объединение всех C_i образует конечное подмножество C, которое является конечным подпокрытием X.
- Противоречие с тем, что C ∈ S, доказывает компактность X.
-
Использование леммы Цорна
- Доказательство использует лемму Цорна, но не требует полной силы выбора.
- Основано на принципе промежуточного ультрафильтра.
-
Применение к другим пространствам
- Теорема Тихонова утверждает, что произведение непустых компактных пространств является компактным.
- Доказательство использует теорему Александера о подоснове и аксиому выбора.
-
Дополнительные замечания
- Топология продукта на ∏i Xi имеет подоснову из наборов цилиндров.
- Если C не имеет конечного подпокрытия, то его проекции на Xi также не имеют конечного подпокрытия.
- Точка (xi)i не подпадает под действие C, что доказывает компактность произведения.