Оглавление
Поле дробей
-
Поле дробей интегральной области
- Поле дробей интегральной области является наименьшим полем, в которое она может быть встроена.
- Построение поля дробей моделируется на основе взаимосвязи между интегральной областью целых чисел и полем рациональных чисел.
- Поле дробей обозначается как Frac(R) или Quot(R).
-
Определение поля дробей
- Поле дробей определяется как множество классов эквивалентности на R × R∗, где (n, d) ∼ (m, b), если nb = md.
- Поле дробей имеет операции сложения и умножения, определенные на классах эквивалентности.
- Поле дробей является полем, если для любых n, d ≠ 0, мультипликативная обратная величина n/d существует и удовлетворяет ожидаемым свойствам.
-
Универсальное свойство поля дробей
- Поле дробей обладает универсальным свойством: для любой интегральной области R, существует функтор из категории интегральных областей в категорию полей, который сводит каждую целочисленную область к её дробному полю.
- Категория полей является отражающей подкатегорией категории интегральных областей.
-
Примеры полей дробей
- Поле дробей кольца целых чисел — это поле рациональных чисел.
- Поле дробей кольца гауссовых целых чисел — это поле гауссовых рациональных чисел.
- Поле дробей поля канонически изоморфно самому полю.
- Поле дробей кольца многочленов в одном неопределенном называется полем рациональных функций.
-
Обобщения и локализация
- Локализация — это коммутативное кольцо, состоящее из дробей с r ∈ R и s ∈ S, где (r, s) ∼ (r′, s′), если существует t ∈ S такой, что t(rs’-r’s)=0.
- Если S является дополнением к главному идеалу P, то S−1R также обозначается R_BOS_P.
- Если S является множеством ненулевых делителей в R, то S−1R называется полным множительным кольцом.
-
Полуполе дробей
- Полуполе дробей коммутативного полукольца, в котором каждый ненулевой элемент является (мультипликативно) аннулирующим, является наименьшим полуполем, в которое оно может быть встроено.
- Элементы полуполя дробей записываются как классы эквивалентности в виде a/b с a и b в R и b ≠ 0.