Оглавление
Многочленное тождественное кольцо
-
Определение полиномиальных тождественных колец
- Кольцо R является полиномиальным тождественным кольцом (PI-кольцом), если существует элемент P ∈ 0 свободной алгебры над кольцом целых чисел с N переменными, такой что P(r1, r2, …, rN) = 0 для всех N-кортежей r1, r2, …, rN из R.
- Многочлен P называется моническим, если хотя бы один из его членов высшей степени имеет коэффициент, равный 1.
-
Примеры и свойства
- Каждое коммутативное кольцо является PI-кольцом.
- Кольцо из матриц 2 × 2 над коммутативным кольцом удовлетворяет тождеству Холла.
- PI-кольца удовлетворяют гипотезе Кете и другим свойствам.
-
Множество тождеств и T-идеалы
- Если F – свободная алгебра с N переменными, а R – PI-кольцо, удовлетворяющее многочлену P от N переменных, то P находится в ядре любого гомоморфизма.
- Набор всех полиномиальных тождеств, которым удовлетворяет PI-кольцо, является идеальным и T-идеальным.
-
Теорема Познера и центральный многочлен
- Теорема Познера утверждает, что если R – PI-кольцо, то существует центральный многочлен, удовлетворяющий полиномиальным тождествам.
- Центральный многочлен используется для изучения свойств PI-колец.