Оглавление
Изгибы эллиптических кривых
-
Квадратичный поворот
- Эллиптическая кривая E над полем K имеет квадратичный поворот E^d, изоморфный E над алгебраическим замыканием K.
- Изоморфизм между кривыми является изогенией степени 1.
- Кривая и её изгибы имеют одинаковый j-инвариант.
- Приложения включают криптографию, решение диофантовых уравнений и изучение гипотезы Сато–Тейта.
-
Квадратичный поворот над конечными полями
- Если K — конечное поле с q элементами, то для всех x существует y, такой что точка (x, y) принадлежит E или E^d.
- |E(K)| + |E^d(K)| = 2q + 2 или t_{E^d} = -t_{E}, где t_E — след эндоморфизма кривой Фробениуса.
-
Четвертичный поворот
- Эллиптические кривые с j-инвариантом 1728 можно скручивать с помощью знаков в четверть.
- Скручивание кривой E в кварту даёт четыре кривые: одну изоморфную E, одну его квадратичный поворот и две новые.
- Скрученные кривые изоморфны по протяженности поля, определяемой степенью скручивания.
-
Кубический изгиб
- Эллиптические кривые над K с j-инвариантом 0 можно скручивать кубическими символами.
- Полученные кривые изоморфны начальной кривой по протяженности поля, определяемой степенью скручивания.
-
Обобщение
- Изгибы могут быть определены для других гладких проективных кривых.
- Поворот C’ от C является другой гладкой проективной кривой, для которой существует K¯-изоморфизм между C’ и C, где K¯ — алгебраическое замыкание K.
-
Примеры
- Витые изгибы мешковины
- Скрученная кривая Эдвардса
- Скрученная кривая Доче–Икарта–Кохеля, ориентированная на тройное умножение