Представление группы Ли
-
Основы теории представлений
- Теория представлений изучает математические структуры, которые описывают действия групп на векторных пространствах.
- Группа Ли – это алгебраическая структура, которая описывает непрерывные группы преобразований.
- Представление группы Ли – это отображение, которое отображает группу в группу линейных операторов на векторном пространстве.
-
Неприводимые представления
- Неприводимое представление – это представление, которое не может быть разложено на сумму меньших представлений.
- Неприводимые представления являются фундаментальными для теории представлений и часто используются для описания элементарных частиц.
-
Тензорное произведение представлений
- Тензорное произведение двух представлений может быть неприводимым, и задача теории представлений заключается в разложении таких произведений.
- В физике эта проблема известна как “сложение углового момента” или “теория Клебша-Гордана”.
-
Двойственные представления
- Двойственное представление – это представление, которое связано с представлением группы Ли через двойственное пространство.
- Двойственность неприводимого представления всегда неприводима, но может быть изоморфной исходному представлению.
-
Сравнение представлений группы Ли и алгебры Ли
- Представления группы Ли часто связаны с представлениями соответствующей алгебры Ли, но не каждое представление алгебры Ли происходит из представления группы.
- Теорема Ли позволяет получить взаимно однозначное соответствие между представлениями группы и алгебры Ли для односвязных групп.
-
Экспоненциальное отображение и представления алгебры Ли
- Экспоненциальное отображение связывает алгебру Ли с группой Ли, позволяя вычислять групповые представления через представления алгебры Ли.
- Представления алгебры Ли могут быть получены из групповых представлений через дифференциальное отображение.
-
Групповые представления из представлений алгебры Ли
- Каждое представление алгебры Ли может быть получено из представления группы Ли, если группа Ли просто связна.
- Проективные представления возникают из обычных представлений универсальной обложки группы Ли и могут быть многозначными.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.
Полный текст статьи: