Оглавление
Проблема искажения
-
Проблема искажения в функциональном анализе
- Проблема искажения состоит в определении, насколько сильно можно исказить единичную сферу в банаховом пространстве.
- Банахово пространство X называется λ-искажаемым, если существует эквивалентная норма |x| такая, что для всех бесконечномерных подпространств Y в X, ||x|| ≤ λ ||y|| для всех y ∈ Y.
- Банахово пространство называется искажаемым, если оно λ-искажаемо для некоторого λ > 1, и произвольно искажаемым, если оно λ-искажаемо для любого λ.
-
История и основные результаты
- Проблема искажения впервые появилась в 1960-х годах и была изучена Джеймсом и Милманом.
- Джеймс доказал, что c0 и θ1 не поддаются искажению.
- Милман показал, что если X не содержит изоморфной копии c0 или θp, то некоторое бесконечномерное подпространство X может быть искажено.
-
Эквивалентные вопросы и примеры
- В разделимых и однородных выпуклых пространствах искажаемость эквивалентна вопросу о стабилизации функций Липшица.
- На θ1 существуют функции Липшица, которые не стабилизируются, хотя это пространство не искажается.
- В сепарабельном гильбертовом пространстве проблема искажения эквивалентна вопросу о существовании подмножеств единичной сферы, разделенных положительным расстоянием и пересекающих каждое бесконечномерное замкнутое подпространство.
-
Решения и дальнейшие исследования
- В сепарабельном гильбертовом пространстве и для других θp-пространств проблема искажения была решена Оделлом и Шлумпрехтом, которые показали, что θ2 произвольно искажаемо.
- Проблема искажения остается сложной и требует дальнейших исследований.