Оглавление
- 1 Производная некоммутативная алгебраическая геометрия
- 1.1 Производные категории и их применение
- 1.2 Производная категория проективной прямой
- 1.3 Полуортогональные разложения и исключительные коллекции
- 1.4 Теорема Бейлинсона
- 1.5 Теорема Орлова о восстановлении
- 1.6 Неудача реконструкции
- 1.7 Эквивалентности на поверхностях K3
- 1.8 Изоморфизм структур Ходжа
- 1.9 Связь с мотивами
- 1.10 Производная категория сингулярностей
- 1.11 Построение локализации
- 1.12 Свойства категории сингулярности
- 1.13 Модели Ландау–Гинзбурга
- 1.14 Категория D-браны
- 1.15 Вычислительные инструменты
- 1.16 Категория D-браны модели Ландау–Гинзбурга
- 1.17 Морфизмы в категории D-браны
- 1.18 Дополнительные случаи
- 1.19 Связанные понятия
- 1.20 Примечания и рекомендации
- 1.21 Полный текст статьи:
- 2 Производная некоммутативная алгебраическая геометрия
Производная некоммутативная алгебраическая геометрия
-
Производные категории и их применение
- Производные категории используются в некоммутативной алгебраической геометрии для изучения геометрических объектов.
- Примеры включают производные категории когерентных пучков и совершенных комплексов.
-
Производная категория проективной прямой
- Производная категория проективной прямой используется для изучения производных некоммутативных схем.
- Последовательность Эйлера позволяет построить связку O(-2) с помощью категориальных инструментов.
-
Полуортогональные разложения и исключительные коллекции
- Полуортогональные разложения и исключительные коллекции используются для кодирования конструкций производных категорий.
- Полуортогональное разложение разбивает триангулированную категорию на подкатегории, удовлетворяющие определенным условиям.
- Исключительные коллекции объектов создают свои подкатегории, что позволяет разложить триангулированную категорию.
-
Теорема Бейлинсона
- Бейлинсон доказал, что линейные пучки на Pn формируют полную сильную исключительную коллекцию.
- Доказательство включает разрешение диагонали Pn × Pn и использование комплекса Кошул.
-
Теорема Орлова о восстановлении
- Если существует эквивалентность производных категорий, то существует изоморфизм лежащих в основе многообразий.
- Доказательство основано на анализе функторов Серра и изоморфизме канонических колец.
-
Неудача реконструкции
- Теорема о реконструкции не работает для Калаби-Яу и абелевых многообразий.
- Абелевы многообразия имеют эквивалентные производные категории без изоморфных базовых многообразий.
-
Эквивалентности на поверхностях K3
- Поверхности K3 также не поддаются реконструкции из-за их свойства Калаби-Яу.
- Существует критерий для определения эквивалентности производных категорий поверхностей K3.
-
Изоморфизм структур Ходжа
- Изоморфизм структур Ходжа отражает изоморфизм мотивов Чжоу.
- Автоэквивалентности производной категории гладкого проективного многообразия связаны с изометрией структур Ходжа.
-
Связь с мотивами
- Ограниченная производная категория Db(X) используется для построения теории пересечений.
- Орлов задал вопрос о существовании индуцированной карты мотивов чау-чау.
-
Производная категория сингулярностей
- На гладком многообразии существует эквивалентность между Db(X) и Dperf(X).
- Для схем ELF производная категория особенностей определяется через коэффициент категорий.
-
Построение локализации
- Локализация категорий определяется для класса морфизмов Σ.
- Категория T/N обладает универсальным свойством: любой точный функтор F: T → T’ вычисляется через факторный функтор Q: T → T/N.
-
Свойства категории сингулярности
- Для регулярных схем каждый ограниченный комплекс когерентных пучков совершенен.
- Нетривиальные когерентные пучки в Dsg(X) имеют поддержку по Sing(X).
-
Модели Ландау–Гинзбурга
- Модель Ландау–Гинзбурга определяется как гладкое многообразие X с морфизмом W: X → A1.
- Существуют три связанные категории: DGw0(W), Параw0(W) и DBw0(W).
-
Категория D-браны
- Категория D-бран типа B на X со сверхпотенциалом W определяется через категорию продукта.
- Существует точная эквивалентность категорий, заданная функтором Cok.
-
Вычислительные инструменты
- Периодичность Кноррера связывает производные категории двух родственных многообразий.
- Преобразование Фурье-Мукаи индуцирует эквивалентность категорий сингулярностей.
-
Категория D-браны модели Ландау–Гинзбурга
- Эквивалентна категории сингулярности D петь (Спецификация (C[z] / (zn)))
- Над алгеброй A = C[z] / (zn) существуют неразложимые объекты
-
Морфизмы в категории D-браны
- Для любой пары i, j существуют морфизмы αji: Vi → Vj
- Для i ≥ j это естественные проекции
- Для i < j это умножение на zj-i
- Каждый другой морфизм представляет собой композицию и линейную комбинацию этих морфизмов
-
Дополнительные случаи
- Много других случаев можно явно вычислить с помощью таблицы особенностей из статьи Кноррера
-
Связанные понятия
- Производная категория
- Триангулированная категория
- Идеальный комплекс
- Полуортогональное разложение
- Преобразование Фурье–Мукаи
- Состояние стабильности мостовой зоны
- Гомологическая зеркальная симметрия
-
Примечания и рекомендации
- Примечания к производным категориям доступны по ссылке
- Исследовательские статьи
- Некоммутативная версия теоремы Бейлинсона
- Производные категории торических многообразий
- Производные категории торических многообразий II