Оглавление
- 1 Пространство модулей
- 1.1 Определение пространств модулей
- 1.2 Примеры пространств модулей
- 1.3 Проективное пространство как модули
- 1.4 Многообразие Чау-Чау
- 1.5 Схема Гильберта
- 1.6 Определения пространств модулей
- 1.7 Автоморфизмы и пространства модулей
- 1.8 Обогащение классификации
- 1.9 Модули кривых
- 1.10 Модули многообразий
- 1.11 Модули векторных расслоений
- 1.12 Методы построения пространств модулей
- 1.13 Определение отношения эквивалентности
- 1.14 Алгебраические пространства и стеки
- 1.15 Пространства модулей в физике
- 1.16 Строительные инструменты и критерии
- 1.17 Типы пространств модулей
- 1.18 Рекомендации и источники
- 1.19 Полный текст статьи:
- 2 Пространство модулей
Пространство модулей
-
Определение пространств модулей
- Пространства модулей — это геометрические пространства, точки которых представляют алгебро-геометрические объекты или классы изоморфизма таких объектов.
- Пространства модулей возникают как решения задач классификации.
-
Примеры пространств модулей
- Проективное пространство Pn параметризует прямые в Rn+1, проходящие через начало координат.
- Грассманиан G(k, V) параметризует k-мерные линейные подпространства векторного пространства V.
-
Проективное пространство как модули
- Проективное пространство параметризует линейные расслоения с глобальными сечениями.
- Функтор PZ^n отправляет схемы на съемочную площадку, где точки соответствуют линейным пучкам с глобальными сечениями.
-
Многообразие Чау-Чау
- Многообразие Чау-Чау параметризует кривые степени d в P3.
- Оно построено как подмножество пространства делителей степени d грассманиана.
-
Схема Гильберта
- Схема Гильберта Hilb(X) параметризует замкнутые подсхемы фиксированной схемы X.
- Пример: степень параметризации схемы Гильберта d гиперповерхности проективного пространства Pn.
-
Определения пространств модулей
- Пространства точных модулей: пространство M является основой универсального семейства алгебро-геометрических объектов.
- Пространства грубых модулей: пространство M содержит точки для каждого объекта, который может появиться в семействе, но не обязательно содержит универсальное семейство.
-
Автоморфизмы и пространства модулей
- Автоморфизмы делают невозможным точное пространство модулей.
- Грубые пространства модулей не гарантируют существование и часто единичны.
-
Обогащение классификации
- Использование изоморфизмов для описания проблемы модулей.
- Расслоенные категории и алгебраические стеки.
-
Модули кривых
- Стек модулей Mg классифицирует семейства гладких кривых рода g.
- M¯g включает стабильные узловые кривые.
- Размерность M0 равна 1, M1 равна 0.
- M¯1,1 — стопка эллиптических кривых.
-
Модули многообразий
- Пространства модулей абелевых многообразий.
- Пространства модулей KSB и многообразий Фано.
- Построение пространств модулей Калаби-Яу остается открытой проблемой.
-
Модули векторных расслоений
- Стек модулей Vectn(X) векторных расслоений ранга n.
- Грубое пространство модулей — схема Пикара.
- Число модулей векторных расслоений важно в калибровочной теории.
-
Методы построения пространств модулей
- Предварительное ужесточение задачи о модулях.
- Использование теории геометрических инвариантов (GIT).
- Подход Майкла Артина: изучение теории деформации объектов.
-
Определение отношения эквивалентности
- Две точки эквивалентны, если объекты над ними изоморфны
- Это дает схему и отношение эквивалентности
-
Алгебраические пространства и стеки
- Алгебраическое пространство определяется схемой и отношением эквивалентности
- Алгебраический стек может быть определен, если схема не всегда подходит
-
Пространства модулей в физике
- Термин “пространство модулей” используется для обозначения вакуумных ожидаемых значений скалярных полей
- Пространства модулей появляются в топологической теории поля
-
Строительные инструменты и критерии
- Схема Гильберта и quotсхема quot
- Теория деформации и коэффициент GIT
- Критерий Артина для построения пространств модулей
-
Типы пространств модулей
- Модули алгебраических кривых
- Набор модулей эллиптических кривых
- Пространства модулей K-устойчивых многообразий Фано
- Модульная кривая и функтор Пикара
- Модули полустабильных пучков на кривой
- Пространство модулей Концевича и модули полустабильных шкивов
-
Рекомендации и источники
- Записи и статьи по теории модулей
- Стеки модулей в P-адических модульных формах и программе Ленглендса
- Фундаментальные документы и ранние заявки
- Справочник по теории Тейхмюллера, тома I-III
- Другие статьи и источники, включая работы Марьям Мирзахани