Пространство Рисса
-
Определение пространств Рисса
- Пространства Рисса — это частично упорядоченные векторные пространства с решеткой в качестве структуры порядка.
- Названы в честь Фриджеса Рисса, впервые определившего их в 1928 году.
- Важны в теории меры и математической экономике.
-
Предварительные приготовления
- Упорядоченное векторное пространство — это векторное пространство над реалами с предварительным порядком.
- Верхняя и нижняя границы определяются как элементы, удовлетворяющие определенным условиям.
- Наименьшая верхняя граница (супремум) и наибольшая нижняя граница (инфимум) существуют для любого подмножества.
-
Заранее упорядоченная векторная решетка
- Заранее упорядоченная векторная решетка — это векторное пространство с предварительным порядком, удовлетворяющим определенным условиям.
- Предварительный порядок должен быть совместимым со структурой векторного пространства.
- Любая пара элементов имеет высший предел, что делает решетку.
-
Пространство Рисса и векторные решетки
- Пространство Рисса — это заранее упорядоченная векторная решетка с частичным порядком.
- Векторная решетка — это упорядоченное векторное пространство с решеткой в качестве структуры порядка.
-
Интервалы и двойственные порядки
- Интервал порядка — это выпуклое множество, содержащее все элементы, удовлетворяющие определенному условию.
- Двойственный порядок — это множество линейных функционалов, преобразующих интервалы порядка в ограниченные множества.
-
Классификация и основные свойства
- Конечномерные пространства Рисса полностью классифицируются по свойству Архимеда.
- Каждое пространство Рисса является частично упорядоченным векторным пространством, но не каждое частично упорядоченное векторное пространство является пространством Рисса.
- Абсолютное значение элемента определяется как супремум его противоположного.
-
Бессвязность и представление в виде непересекающейся суммы
- Два элемента называются непересекающимися, если их абсолютные значения равны.
- Непересекающиеся дополнения всегда являются группами.
- Любой элемент можно представить как непересекающуюся сумму положительных элементов.
-
Основные свойства пространств Рисса
- Пространства Рисса обладают дистрибутивной решеткой.
- Каждое пространство Рисса обладает свойством разложения по Риссу.
-
Сходимость последовательностей
- Последовательность монотонно сходится, если существует нижняя граница.
- Последовательность сходится для x, если существует монотонная сходящаяся последовательность.
- Последовательность u-равномерно сходится к x, если существует N такое, что |xn-x|<ru для всех n>N.
-
Подпространства Рисса
- Векторная подрешетка — это векторное подпространство, где отхлебывать{x,y} принадлежит F.
- Идеал — это векторное подпространство, где |g|≤|f| подразумевает g∈I.
- Группа — это идеал с дополнительным свойством, что для любого элемента f, если |f| является вершиной подмножества положительных элементов в B, то f∈B.
- Проекционная полоса — это группа, где E=B⊕B⊥, и существует положительный линейный идемпотент P: E→E, такой, что P(f)=u.
-
Полнота и минимальные решетки
- Векторная решетка полна, если каждое подмножество имеет как верхнюю, так и нижнюю границы.
- Векторная решетка является дедекиндовой полной, если каждое множество с верхней границей имеет верхнюю границу, а каждое множество с нижней границей имеет нижнюю границу.
- Полная по порядку, регулярно упорядоченная векторная решетка, канонический образ которой в своем двойственном порядке является полным по порядку, называется минимальной и относится к минимальному типу.
-
Частные и произведения
- Подрешетка векторной решетки — это векторное подпространство, где отхлебыватьX(x,y) принадлежит X.
- Частные решетки определяются канонической проекцией π: X→X/M, где C^ является конусом в X/M.
- Если C^ является правильным конусом, то X/M является упорядоченным векторным пространством.
- Если X является векторной решеткой и M является сплошным векторным подпространством, то X/M является векторной решеткой и каноническое отображение π: X→X/M является гомоморфизмом векторной решетки.
- Если X является топологической векторной решеткой и M представляет собой замкнутую твердотельную подрешетку из X, то X/L также является топологической векторной решеткой.
- Продукт X^S — это пространство всех функций от S в X, канонически упорядоченное соответствующим конусом.
-
Семейство упорядоченных векторных пространств
- Семейство упорядоченных векторных пространств {Xα: α ∈ A} с положительными конусами Cα.
- Канонический порядок на ∏αXα определяется произведением положительных конусов.
-
Алгебраическая прямая сумма
- Алгебраическая прямая сумма ⨁αXα является векторным подпространством ∏αXα.
- Порядок подпространства наследуется от ∏αXα.
-
Пространства линейных отображений
- Конус C в векторном пространстве X генерирует, если C-C равно всему векторному пространству.
- Порядок, определяемый C, называется каноническим упорядочением L(X;W).
-
Положительные линейные отображения
- Линейная карта u: X → Y называется положительной, если u(X) ⊆ D.
- Подпространство M := H-H от L(X;Y) является полной по порядку векторной решеткой.
-
Положительные функционалы и двойственный порядок
- Линейная функция f на упорядоченном векторном пространстве называется положительной, если x ≥ 0 подразумевает f(x) ≥ 0.
- Двойственный порядок X+ определяется как C*-C*.
-
Гомоморфизм векторной решетки
- Гомоморфизм u: X → Y является заранее упорядоченным, если u сохраняет операции с решеткой и порядок.
- Биективный гомоморфизм является изоморфизмом.
-
Свойства проекции
- Пространство Рисса обладает свойством проекции, если каждая полоса является проекционной.
- Основные свойства проекции связаны с другими свойствами, такими как Дедекинд полнота и архимедово свойство.
-
Примеры
- Пространство непрерывных вещественнозначных функций с поточечным частичным порядком является пространством Рисса, но обычно не обладает основным свойством проекции.
- Lp пространство с поточечным частичным порядком является полным пространством Дедекинда Рисса.
- Пространство R2 с лексикографическим порядком является неархимедовым пространством Рисса.