QR-декомпозиция

• Основы QR-декомпозиции

  • QR-декомпозиция — это метод разложения матрицы на ортогональную и верхнюю треугольную матрицы. 
  • Разложение используется для решения линейных систем и вычисления собственных значений. 

• Алгоритм QR-декомпозиции

  • Алгоритм начинается с ортогонализации матрицы, затем следует поворот строк и столбцов. 
  • Поворот строк и столбцов выполняется с использованием метода Грама-Шмидта. 
  • В результате получается ортогональная матрица Q и верхняя треугольная матрица R. 

• Преимущества и недостатки

  • QR-декомпозиция эффективна для матриц с большим количеством нулевых элементов. 
  • Недостатком является сложность определения порядка строк для полного использования алгоритма. 

• Связь с определителем и собственными значениями

  • QR-декомпозиция позволяет вычислить определитель матрицы и произведение собственных значений. 
  • Сингулярные значения и собственные значения связаны, но могут быть разными для комплексных матриц. 

• Поворот колонны

  • Поворот колонны используется для повышения точности расчетов и определения ранга матрицы. 
  • Ранг матрицы может быть определен с меньшими вычислительными затратами по сравнению с разложением по сингулярным значениям. 

• Использование для решения линейных обратных задач

  • QR-декомпозиция обеспечивает численно стабильные решения недоопределенных и сверхдетерминированных линейных задач. 
  • Решение может быть выражено через ортогональную матрицу Q и верхнюю треугольную матрицу R. 

• Обобщения

  • Ивасава разработал обобщение QR-декомпозиции для полупростых групп Ли. 

• Дополнительные ресурсы

  • В статье упоминаются полярное разложение, разложение по собственным значениям, спектральное разложение, разложение LU и разложение по сингулярным значениям. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.