Оглавление
QR-декомпозиция
-
Основы QR-декомпозиции
- QR-декомпозиция – это метод разложения матрицы на ортогональную и верхнюю треугольную матрицы.
- Разложение используется для решения линейных систем и вычисления собственных значений.
-
Алгоритм QR-декомпозиции
- Алгоритм начинается с ортогонализации матрицы, затем следует поворот строк и столбцов.
- Поворот строк и столбцов выполняется с использованием метода Грама-Шмидта.
- В результате получается ортогональная матрица Q и верхняя треугольная матрица R.
-
Преимущества и недостатки
- QR-декомпозиция эффективна для матриц с большим количеством нулевых элементов.
- Недостатком является сложность определения порядка строк для полного использования алгоритма.
-
Связь с определителем и собственными значениями
- QR-декомпозиция позволяет вычислить определитель матрицы и произведение собственных значений.
- Сингулярные значения и собственные значения связаны, но могут быть разными для комплексных матриц.
-
Поворот колонны
- Поворот колонны используется для повышения точности расчетов и определения ранга матрицы.
- Ранг матрицы может быть определен с меньшими вычислительными затратами по сравнению с разложением по сингулярным значениям.
-
Использование для решения линейных обратных задач
- QR-декомпозиция обеспечивает численно стабильные решения недоопределенных и сверхдетерминированных линейных задач.
- Решение может быть выражено через ортогональную матрицу Q и верхнюю треугольную матрицу R.
-
Обобщения
- Ивасава разработал обобщение QR-декомпозиции для полупростых групп Ли.
-
Дополнительные ресурсы
- В статье упоминаются полярное разложение, разложение по собственным значениям, спектральное разложение, разложение LU и разложение по сингулярным значениям.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.
Полный текст статьи: