Оглавление
Ранг группы
-
Определение ранга группы
- Ранг группы G – это наименьшая мощность множества, порождающего G.
- Для конечно порожденных групп ранг неотрицателен.
- Ранг группы является теоретико-групповым аналогом размерности векторного пространства.
-
Связь с размерностью векторного пространства
- Для p-групп ранг равен размерности векторного пространства над подгруппой Фраттини.
-
Ограничения ранга
- Ранг подгруппы – это максимальный ранг её подгрупп.
- Иногда ранг подгруппы ограничивается абелевыми подгруппами.
-
Примеры и факты
- Для циклической группы G ранг равен 1.
- Для свободной абелевой группы ранга n он равен n.
- Если G является гомоморфным образом другой группы, то ранг не превосходит ранг исходной группы.
- Для конечной неабелевой простой группы ранг равен 2.
- Если G – фундаментальная группа связного 3-многообразия, то ранг не превосходит род Хегаарда.
-
Проблема ранжирования
- Проблема ранжирования – это алгоритмическая задача определения ранга группы по её конечному представлению.
- Проблема неразрешима для всех конечно представленных групп, но разрешима для конечных групп, абелевых групп и некоторых других классов групп.
-
Обобщения и связанные понятия
- Ранг может быть определен как мощность множества, на котором существует гомоморфизм в G.
- Совместный ранг – это наибольшая мощность множества, на котором существует гомоморфизм из G в свободную группу.
- Совместный ранг всегда вычислим, в отличие от ранга.
- P-ранг – это наибольший ранг элементарной абелевой p-подгруппы или сечения.
-
Ссылки
- Ранг абелевой группы
- Звание Прюфера
- Теорема Грушко
- Свободная группа
- Эквивалентность по Нильсену
Полный текст статьи: