Ранг группы

• Определение ранга группы

  • Ранг группы G — это наименьшая мощность множества, порождающего G. 
  • Для конечно порожденных групп ранг неотрицателен. 
  • Ранг группы является теоретико-групповым аналогом размерности векторного пространства. 

• Связь с размерностью векторного пространства

  • Для p-групп ранг равен размерности векторного пространства над подгруппой Фраттини. 

• Ограничения ранга

  • Ранг подгруппы — это максимальный ранг её подгрупп. 
  • Иногда ранг подгруппы ограничивается абелевыми подгруппами. 

• Примеры и факты

  • Для циклической группы G ранг равен 1. 
  • Для свободной абелевой группы ранга n он равен n. 
  • Если G является гомоморфным образом другой группы, то ранг не превосходит ранг исходной группы. 
  • Для конечной неабелевой простой группы ранг равен 2. 
  • Если G — фундаментальная группа связного 3-многообразия, то ранг не превосходит род Хегаарда. 

• Проблема ранжирования

  • Проблема ранжирования — это алгоритмическая задача определения ранга группы по её конечному представлению. 
  • Проблема неразрешима для всех конечно представленных групп, но разрешима для конечных групп, абелевых групп и некоторых других классов групп. 

• Обобщения и связанные понятия

  • Ранг может быть определен как мощность множества, на котором существует гомоморфизм в G. 
  • Совместный ранг — это наибольшая мощность множества, на котором существует гомоморфизм из G в свободную группу. 
  • Совместный ранг всегда вычислим, в отличие от ранга. 
  • P-ранг — это наибольший ранг элементарной абелевой p-подгруппы или сечения. 

• Ссылки

  • Ранг абелевой группы 
  • Звание Прюфера 
  • Теорема Грушко 
  • Свободная группа 
  • Эквивалентность по Нильсену