Оглавление
Расщепленная алгебра Ли
-
Расщепленные алгебры Ли
- Расщепленная алгебра Ли — это пара (g, h), где g — алгебра Ли, а h — расщепляющаяся подалгебра Картана.
- Расщепляемость означает, что для всех x ∈ h, ad_{g}x является триангуляризуемым.
- Над алгебраически замкнутым полем все полупростые алгебры Ли расщепляемы.
-
Свойства расщепленных алгебр Ли
- Над алгебраически замкнутым полем все подалгебры Картана сопряжены.
- Над неалгебраически замкнутым полем не все подалгебры Картана сопряжены, но в расщепляемой полупростой алгебре Ли все расщепляемые алгебры Картана сопряжены.
- В расщепляемой алгебре Ли могут существовать подалгебры Картана, которые не расщепляются.
- Прямые суммы расщепляемых алгебр Ли и идеалы в расщепляемых алгебрах Ли являются расщепляемыми.
-
Расщепленные вещественные алгебры Ли
- Для реальной алгебры Ли расщепляемость эквивалентна равенству действительного и комплексного рангов.
- Каждая сложная полупростая алгебра Ли имеет уникальную расщепленную вещественную алгебру Ли, которая также является полупростой и проста тогда и только тогда, когда сложная алгебра Ли проста.
- Для вещественных полупростых алгебр Ли расщепленные алгебры Ли противоположны компактным алгебрам Ли.
-
Примеры расщепленных вещественных форм
- A n, sl n+1(C) : sl n+1(R)
- B n, so 2n+1(C) : so n,n+1(R)
- C n, sp n(C) : sp n(R)
- D n, so 2n(C) : so n,n(R)
- E 6, E 7, E 8, F 4, G 2 имеют расщепленные вещественные формы EI, EV, EVIII, FI, G
-
Смотрите также
- Компактная алгебра Ли
- Реальная форма
- Разделенное комплексное число
- Разделенная ортогональная группа