Разложение LU

• Определение и свойства матрицы поворота

  • Матрица поворота — это матрица, которая преобразует вектор в другой вектор, вращая его. 
  • Матрица поворота имеет размерность (n x n) и состоит из элементов, которые равны 1 или -1. 
  • Матрица поворота обладает свойством, что ее произведение с транспонированной матрицей равно единичной матрице. 

• Алгоритм частичного поворота

  • Частичный поворот — это процесс, при котором строки матрицы меняются местами, но не все строки. 
  • Алгоритм частичного поворота включает в себя вычисление элементов главной диагонали и элементов ниже главной диагонали. 
  • Для каждой строки вычисляется элемент главной диагонали, который называется элементом поворота. 
  • Элементы ниже главной диагонали вычитаются из соответствующих строк, чтобы получить новую матрицу. 

• Пример частичного поворота

  • В качестве примера рассматривается матрица 3×3 и процесс частичного поворота для первой строки. 
  • Элементы главной диагонали и элементы ниже главной диагонали вычисляются и вычитаются из соответствующих строк. 
  • В результате получается новая матрица, которая отличается от исходной только первой строкой. 

• Общий алгоритм частичного поворота

  • Общий алгоритм включает в себя вычисление элементов главной диагонали и элементов ниже главной диагонали для каждой строки. 
  • После вычисления элементов главной диагонали и элементов ниже главной диагонали, строки матрицы меняются местами. 
  • После изменения строк, элементы ниже главной диагонали вычитаются из соответствующих строк для получения новой матрицы. 

• Пример реализации частичного поворота

  • В примере рассматривается матрица 4×4 и процесс частичного поворота для первых двух строк. 
  • В результате получаются новые матрицы, которые отличаются от исходной только двумя строками. 

• Окончательные матрицы

  • После нескольких итераций частичного поворота получаются матрицы U и L, которые удовлетворяют условию PA = LU. 
  • Матрицы U и L являются верхней и нижней треугольными матрицами соответственно. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.