Оглавление
Правильная особая точка
-
Особые точки в обыкновенных дифференциальных уравнениях
- Особые точки делятся на обычные и нерегулярные.
- Обычные особые точки имеют ограниченные решения, нерегулярные требуют более высоких темпов роста.
- Примеры: гипергеометрическое уравнение и уравнение Бесселя.
-
Формальные определения
- Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение n-го порядка с мероморфными функциями.
- Метод Фробениуса для нахождения решений вблизи особых точек.
- Условие регулярности: допустимые полюса в области, ограниченной линией под углом 45° к осям.
-
Примеры для дифференциальных уравнений второго порядка
- Уравнение Бесселя: регулярные особые точки в 0 и нерегулярная в точке θ.
- Уравнение Лежандра: регулярные особые точки в ±1 и θ.
- Уравнение Эрмита: нерегулярная особая точка в точке θ, решения — многочлены Эрмита.
- Гипергеометрическое уравнение: регулярные особые точки в 0, 1 и θ, решения — гипергеометрические функции.
-
Книги по теории функций комплексного переменного
- Копсон, “Введение в теорию функций комплексного переменного” (1935)
- A. R. Теория дифференциальных уравнений Форсайта, Том II. IV: Обычные линейные уравнения (издательство Кембриджского университета, 1906)
- Эдуард Гурса, Курс математического анализа, Том II, часть II: Дифференциальные уравнения, стр. 128−и далее. (“Джинн и компания”, Бостон, 1917)
- E. L. Инс, Обыкновенные дифференциальные уравнения, издательство “Дувр Пабликейшнз” (1944)
- T. M. Функции Макроберта от комплексной переменной p. 243 (Макмиллан, Лондон, 1917)
- E. T. Уиттекер и Дж. N. Уотсон, Курс современного анализа, стр. 188−и далее. (Издательство Кембриджского университета, 1915)