Ретракция (топология)
-
Определение и свойства абсолютных и относительных пространств
- Абсолютное пространство — топологическое пространство, которое является замкнутым подмножеством любого своего замкнутого подпространства.
- Относительное пространство — топологическое пространство, которое является отторжением от любого своего замкнутого подпространства.
-
Примеры и свойства абсолютных и относительных пространств
- Евклидово пространство и единичный куб являются абсолютными пространствами.
- Сфера и куб Гильберта являются абсолютными, но не относительными пространствами.
- Локально выпуклое метризуемое пространство является абсолютным и относительным пространством.
- Каждое открытое подмножество абсолютного пространства является абсолютным пространством.
-
Теоремы и контрпримеры
- Теорема Ханнера утверждает, что метризуемое пространство с открытым покрытием из ANR является ANR.
- Борсук нашел примеры компактных подмножеств, которые являются ANR, но не строго локально сжимаемы.
- Уайтхед и Милнор доказали, что каждое ANR имеет гомотопический тип CW-комплекса.
-
Метризуемые пространства и их гомотопические типы
- Метризуемое пространство является ANR, если оно локально сжимаемо.
- Существует метрическое линейное пространство, которое не является AR и не является ANR.
- Неясно, должно ли компактное метризуемое пространство, которое строго локально сжимаемо, быть ANR.