Оглавление
- 1 Направленный набор
- 1.1 Определение направленного множества
- 1.2 Примеры направленных множеств
- 1.3 Произведение направленных множеств
- 1.4 Направленные множества в метрических пространствах
- 1.5 Максимальные и наибольшие элементы
- 1.6 Включение подмножеств
- 1.7 Хвосты сетей
- 1.8 Соседние районы
- 1.9 Направленные множества
- 1.10 Конечные подмножества
- 1.11 Логика
- 1.12 Контраст с полурешетками
- 1.13 Направленные подмножества
- 1.14 Полный текст статьи:
- 2 Режиссерский набор
Направленный набор
-
Определение направленного множества
- Направленное множество — это непустое множество с рефлексивным и транзитивным бинарным отношением ≤.
- Каждая пара элементов имеет верхнюю границу.
- Направленные множества обобщают полностью упорядоченные множества.
-
Примеры направленных множеств
- Множество натуральных чисел с обычным порядком ≤ является направленным множеством.
- Полностью упорядоченные множества, такие как (N, ≤), (N, ≥), (R, ≤), и (R, ≥), являются направленными множествами.
- Частично упорядоченные множества, такие как {a, b}, не являются направленными множествами.
-
Произведение направленных множеств
- Декартово произведение направленных множеств можно преобразовать в направленный набор.
- Пример: множество пар натуральных чисел можно преобразовать в направленный набор, определив ≤ по отношению к каждому компоненту.
-
Направленные множества в метрических пространствах
- Множество, направленное на действительное число x0, можно определить, определив ≤ по расстоянию от x0.
- Пример: множество, направленное на x0, не является частично упорядоченным или полностью упорядоченным.
-
Максимальные и наибольшие элементы
- Максимальный элемент — это элемент, который не может быть меньше любого другого элемента.
- Наибольший элемент — это элемент, который не может быть больше любого другого элемента.
- Направленное множество характеризуется равенством множеств максимальных и наибольших элементов.
-
Включение подмножеств
- Направленное множество относительно частичного порядка ⊆ или ⊇ тогда и только тогда, когда пересечение или объединение любых двух элементов содержит третий элемент.
- Примеры: предварительный фильтр, π-система, λ-система, фильтр, топология и σ-алгебра.
-
Хвосты сетей
- Сеть — это функция от направленного множества.
- Хвост сети — это множество элементов, начиная с заданного индекса.
- Семья всех хвостов сети является направленным множеством относительно ⊇.
-
Соседние районы
- Совокупность всех окрестностей точки в топологическом пространстве можно превратить в направленный набор.
-
Направленные множества
- Направленные множества содержат само себя.
- Если U ≤ V и V ≤ W, то U ⊇ V и V ⊇ W, что подразумевает U ⊇ W.
- U ≤ W, так как x0 ∈ U ∩ V, и U ⊇ U ∩ V и V ⊇ U ∩ V.
-
Конечные подмножества
- Набор Конечный(I) из всех конечных подмножеств множества I направлен по отношению к ⊆.
- Союз A ∪ B ∈ Конечный(I) является верхней границей A и B в Конечный(I).
- Сумма ∑i∈I ri из обобщенного ряда I-индексированный набор чисел определяется как предел сети частичных сумм.
-
Логика
- Формальная теория S является направленным множеством, если A, B ∈ S и C := A ∧ B, то A ⇐ C и B ⇐ C.
- Алгебра Линденбаума–Тарского S/∼ связана с S и является частично упорядоченным множеством.
-
Контраст с полурешетками
- Направленное множество более общее, чем полурешетка.
- Пример: направленный набор {1000,0001,1101,1011,1111} не является полурешеткой.
-
Направленные подмножества
- Отношение порядка в направленном множестве не обязательно антисимметрично.
- Подмножество A частично упорядоченного множества (P, ≤) называется направленным, если оно является направленным множеством в соответствии с тем же частичным порядком.
- Направленное подмножество позиции не обязательно замкнуто вниз.
- Направленное вниз множество имеет общую нижнюю границу.
- Направленные подмножества используются в теории предметной области для изучения направленных полных частичных порядков.