Оглавление
- 1 Ряд Гильберта и многочлен Гильберта
- 1.1 Функции Гильберта и ряды Гильберта
- 1.2 Применение в вычислительной алгебраической геометрии
- 1.3 Свойства рядов Гильберта
- 1.4 Ряд Гильберта кольца многочленов
- 1.5 Форма ряда Гильберта и размерность
- 1.6 Степень проективного многообразия и теорема Безу
- 1.7 Ряд Гильберта фильтрованных алгебр
- 1.8 Теорема Безу
- 1.9 Полное пересечение
- 1.10 Связь со свободными решениями
- 1.11 Вычисление ряда Гильберта и многочлена Гильберта
- 1.12 Обобщение на когерентные пучки
- 1.13 Градуированные свободные разрешения
- 1.14 Полный текст статьи:
- 2 Ряд Гильберта и полином Гильберта – Arc.Ask3.Ru
Ряд Гильберта и многочлен Гильберта
-
Функции Гильберта и ряды Гильберта
- Функция Гильберта сопоставляет целое число с размерностью векторного пространства.
- Ряд Гильберта является формальным рядом, который можно переписать как рациональную дробь.
- Многочлен Гильберта является числовым многочленом, который почти никогда не имеет целых коэффициентов.
-
Применение в вычислительной алгебраической геометрии
- Многочлен Гильберта и ряды Гильберта используются для вычисления размерности и степени алгебраических многообразий.
- Они обеспечивают полезные инварианты для семейств алгебраических многообразий.
-
Свойства рядов Гильберта
- Аддитивность: ряды Гильберта и многочлены Гильберта аддитивны относительно точных последовательностей.
- Частное от ненулевого делителя: ряд Гильберта частного от ненулевого делителя равен произведению ряда Гильберта на степень делителя.
-
Ряд Гильберта кольца многочленов
- Ряд Гильберта кольца многочленов имеет простую форму, что позволяет вычислить многочлен Гильберта.
- Многочлен Гильберта кольца многочленов равен произведению многочленов Гильберта для каждого однородного элемента.
-
Форма ряда Гильберта и размерность
- Градуированная алгебра с нулевой размерностью Крулля имеет ряд Гильберта, равный многочлену с ведущим коэффициентом, равным размерности.
- Если размерность Крулля положительна, то существует однородный элемент, не являющийся делителем нуля, и ряд Гильберта равен произведению ряда Гильберта на (1-t).
-
Степень проективного многообразия и теорема Безу
- Ряд Гильберта позволяет вычислить степень алгебраического многообразия как значение в 1 числителя ряда Гильберта.
- Это дает простое доказательство теоремы Безу.
-
Ряд Гильберта фильтрованных алгебр
- Ряд Гильберта градуированной алгебры также является её рядом Гильберта как фильтрованной алгебры
- Теорема Жордана–Гельдера доказывает, что P(1) является степенью алгебраического множества V
- Кратность точки определяется числом вхождений максимального идеала в композиционный ряд
-
Теорема Безу
- Если f является однородным многочленом степени δ, который не является нулевым делителем в R, точная последовательность показывает, что
- Это обобщает теорему Безу
-
Полное пересечение
- Проективное алгебраическое множество является полным пересечением, если его определяющий идеал порожден регулярной последовательностью
- Существует простая явная формула для ряда Гильберта полного пересечения
-
Связь со свободными решениями
- Каждый градуированный модуль M над градуированным регулярным кольцом R имеет градуированное свободное разрешение
- Аддитивность рядов Гильберта позволяет вывести HS(t) из HS(t) = 1/(1-t)n
- Если L имеет базис из h однородных элементов степеней δ1, …, δh, то его ряд Гильберта равен
-
Вычисление ряда Гильберта и многочлена Гильберта
- Многочлен Гильберта легко выводится из ряда Гильберта
- Вычисление ряда Гильберта сводится к вычислению базиса Гребнера для идеала, порожденного одночленными числами
- Вычислительная сложность зависит от регулярности, которая является степенью числителя ряда Гильберта
-
Обобщение на когерентные пучки
- В алгебраической геометрии градуированные кольца создают проективные схемы, а конечно порожденные градуированные модули соответствуют когерентным пучкам
- Многочлен Гильберта от когерентного пучка определяется как функция pF(m) = χ(X, F(m))
- Эйлерова характеристика является четко определенным числом по теореме Гротендика о конечности
-
Градуированные свободные разрешения
- Категория когерентных пучков эквивалентна категории градуированных модулей по модулю конечного числа градуированных фрагментов
- Полное пересечение X многоуровневого (d1, d2) имеет разрешение