Оглавление
- 1 Сбалансированный набор
- 1.1 Определение сбалансированного множества
- 1.2 Примеры сбалансированных множеств
- 1.3 Сбалансированные множества в R и C
- 1.4 Сбалансированные окрестности начала координат
- 1.5 Примеры сбалансированных множеств
- 1.6 Сбалансированные оболочки
- 1.7 Свойства сбалансированных множеств
- 1.8 Сбалансированные окрестности начала координат в топологических векторных пространствах
- 1.9 Конструкция сбалансированных окрестностей
- 1.10 Определение и свойства сбалансированных множеств
- 1.11 Свойства сбалансированных функций
- 1.12 Связанные понятия
- 1.13 Полный текст статьи:
- 2 Сбалансированный набор
Сбалансированный набор
-
Определение сбалансированного множества
- Сбалансированное множество — это набор S, такой что aS ⊆ S для всех скаляров a с |a| ≤ 1.
- Сбалансированный корпус — это наименьшее сбалансированное множество, содержащее S.
- Сбалансированное ядро — это наибольшее сбалансированное множество, содержащееся в S.
-
Примеры сбалансированных множеств
- Пустой набор и любое векторное подпространство являются сбалансированными множествами.
- В нормированных и топологических векторных пространствах открытые и закрытые шары являются сбалансированными множествами.
-
Сбалансированные множества в R и C
- В одномерном комплексном векторном пространстве сбалансированные множества включают пустой набор, {0}, {x ∈ X: |x| < r} и {x ∈ X: |x| ≤ r} для некоторых r > 0.
- В двумерном евклидовом пространстве сбалансированные множества включают любой отрезок прямой с серединой в начале координат.
-
Сбалансированные окрестности начала координат
- Замкнутый единичный шар в начале координат является сбалансированной окрестностью.
- Объединение замкнутого единичного шара и ненулевого вектора является сбалансированной окрестностью.
- Объединение замкнутого единичного шара, замкнутого подмножества и его отрицания является сбалансированной окрестностью.
-
Примеры сбалансированных множеств
- Объединение отрезка прямой и отрезка прямой между двумя точками является сбалансированным, но не выпуклым.
- Объединение отрезков прямой между точками, лежащими на окружности, является сбалансированным, но не выпуклым.
- График функции xy = 1 в R2 является сбалансированным, но не выпуклым.
-
Сбалансированные оболочки
- Сбалансированная оболочка замкнутого множества может не быть замкнутой.
- Сбалансированная оболочка выпуклого множества может не быть выпуклой.
- Сбалансированная оболочка компактного множества является сбалансированной.
-
Свойства сбалансированных множеств
- Сбалансированные множества удовлетворяют определенным свойствам, таким как замкнутость и симметричность.
- Сбалансированные множества сохраняют свойства при объединениях, пересечениях и скалярных кратных.
- Сбалансированные множества сохраняют свойства при линейных картах.
-
Сбалансированные окрестности начала координат в топологических векторных пространствах
- Замыкание сбалансированного множества является сбалансированным.
- Объединение начала координат и топологической внутренней части сбалансированного множества является сбалансированным.
- Каждая окрестность начала координат содержит сбалансированную открытую окрестность начала координат.
-
Конструкция сбалансированных окрестностей
- Симметричный набор, образованный пересечением элементов поля скаляров, является сбалансированным, если исходный набор имеет форму звезды в начале координат.
- Если исходный набор является выпуклым и содержит начало координат, то его топологическая внутренняя часть является сбалансированной выпуклой открытой окрестностью начала координат.
-
Определение и свойства сбалансированных множеств
- Сбалансированный набор не пуст, если содержит исходную точку.
- Сбалансированный набор является абсолютно выпуклым, если он выпуклый и сбалансированный.
- Сбалансированный набор имеет форму звезды и является симметричным.
- Сбалансированный набор поглощает в X, если для всех x ∈ X существует r > 0 такое, что x ∈ rB.
- Сбалансированный корпус и ядро множества S равны соответственно балкор(S) и бал(S).
-
Свойства сбалансированных функций
- Функция p: X → [0, ∞) называется сбалансированной, если p(ax) ≤ p(x) для всех a ∈ R и x ∈ X.
- Сбалансированная функция симметрична.
- Вещественнозначная функция p: X → R является полунормой тогда и только тогда, когда она сбалансированная сублинейная.
-
Связанные понятия
- Абсолютно выпуклый набор — выпуклый и сбалансированный набор.
- Поглощающий набор — набор, который можно “раздуть” до любой точки.
- Ограниченное множество (топологическое векторное пространство) — обобщение ограниченности.
- Выпуклое множество — множество, пересечение которого с каждой прямой представляет собой отдельный отрезок прямой.
- Область звезд — свойство множеств точек в евклидовых пространствах.
- Симметричное множество — свойство групповых подмножеств.
- Топологическое векторное пространство — векторное пространство с понятием близости.