Серия «Эйзенштейн»
-
Определение и свойства рядов Эйзенштейна
- Ряды Эйзенштейна — это модульные формы с бесконечным расширением, которые могут быть записаны напрямую.
- Изначально определены для модулярной группы, но могут быть обобщены в теории автоморфных форм.
- Серия Эйзенштейна для модульной группы имеет SL(2, Z)-ковариацию и является модульной конструкцией.
- Сходимость рядов Эйзенштейна зависит от четности k, при k = 2 ряд не является модульной формой.
-
Связь с модулярными инвариантами
- Модульные инварианты эллиптической кривой g2 и g3 могут быть выражены через первые два ряда Эйзенштейна.
-
Рекуррентное соотношение и ряд Фурье
- Голоморфные модулярные формы могут быть записаны в виде многочленов от G4 и G6, а G2k более высокого порядка — через рекуррентное соотношение.
- Ряд Фурье рядов Эйзенштейна имеет вид, где коэффициенты c2k определяются формулой.
-
Личности, связанные с рядами Эйзенштейна
- Тета-функции Якоби связаны с рядами Эйзенштейна через соотношения, которые следуют из модульного дискриминанта и E8 = E24.
- Изделия рядов Эйзенштейна — это тождества, которые связывают различные произведения рядов с точностью до скалярного кратного.
-
Обобщения и рекомендации
- Автоморфные формы обобщают ряды Эйзенштейна для общих групп Ли, а ряды Эйзенштейна могут быть связаны с вершинами модулярной группы Гильберта-Блюменталя.